Dimostrare disuguaglianza con formula del binomio di Newton
Come da richiesta, vi chiedo di aiutarmi a dimostrare la seguente disuguaglianza con la formula del binomio di newton.
$(1+x)^n >= 1 + nx + (n(n-1))/(2)x^2 + (n(n-1)(n-2))/(6)x^3$ per ogni n $in$ N ed ogni x > 0
Ho notato che $nx$ è la derivata prima di $(1+x)^n$ divisa per $(1+x)^(n-1)$
$(n(n-1))/(2)x^2$ è la derivata seconda di $(1+x)^n$ divisa per $2(1+x)^(n-2)$
$(n(n-1)(n-2))/6x^3$ è la derivata terza di $(1+x)^n$ divisa per $3(1+x)^(n-3)$
Come se nella sommatoria $\sum_{k=0}^n a_k*x^k$ (con $a_k = (n!)/(k!(n-k)!)$), $a_k$ fosse modificata ma non capisco come ridefinire $a_k$ per fare in modo che la nuova sommatoria dia sempre inferiore a quella dello sviluppo con la formula di Newton.
$(1+x)^n >= 1 + nx + (n(n-1))/(2)x^2 + (n(n-1)(n-2))/(6)x^3$ per ogni n $in$ N ed ogni x > 0
Ho notato che $nx$ è la derivata prima di $(1+x)^n$ divisa per $(1+x)^(n-1)$
$(n(n-1))/(2)x^2$ è la derivata seconda di $(1+x)^n$ divisa per $2(1+x)^(n-2)$
$(n(n-1)(n-2))/6x^3$ è la derivata terza di $(1+x)^n$ divisa per $3(1+x)^(n-3)$
Come se nella sommatoria $\sum_{k=0}^n a_k*x^k$ (con $a_k = (n!)/(k!(n-k)!)$), $a_k$ fosse modificata ma non capisco come ridefinire $a_k$ per fare in modo che la nuova sommatoria dia sempre inferiore a quella dello sviluppo con la formula di Newton.
Risposte
Sei sicuro che la disuguaglianza debba valere per ogni $n$? Perché a me, con $n=1$ viene
$1+x$ a sinistra e $1+x+x^2+x^3$ a sinistra, e non mi pare che il primo sia maggiore o uguale del secondo. Tra l'altro, i tre addendi a destra sono esattamente i primi tre addendi che compaiono nello sviluppo di $(1+x)^n$ secondo la formula del binomio di Newton!
$1+x$ a sinistra e $1+x+x^2+x^3$ a sinistra, e non mi pare che il primo sia maggiore o uguale del secondo. Tra l'altro, i tre addendi a destra sono esattamente i primi tre addendi che compaiono nello sviluppo di $(1+x)^n$ secondo la formula del binomio di Newton!
"ciampax":
Sei sicuro che la disuguaglianza debba valere per ogni $n$? Perché a me, con $n=1$ viene
$1+x$ a sinistra e $1+x+x^2+x^3$ a sinistra, e non mi pare che il primo sia maggiore o uguale del secondo. Tra l'altro, i tre addendi a destra sono esattamente i primi tre addendi che compaiono nello sviluppo di $(1+x)^n$ secondo la formula del binomio di Newton!
Con n=1 diventa
1 + x = 1 + x
Perchè $((n(n-1))/2)*x^2$ diventa 0 e lo stesso vale per l'ultimo addendo. Non so che conti tu abbia fatto...
"kkkcristo":
[quote="ciampax"]Sei sicuro che la disuguaglianza debba valere per ogni $n$? Perché a me, con $n=1$ viene
$1+x$ a sinistra e $1+x+x^2+x^3$ a destra [...]
Con n=1 diventa
$1 + x = 1 + x$
Perchè $((n(n-1))/2)*x^2$ diventa 0 e lo stesso vale per l'ultimo addendo. Non so che conti tu abbia fatto...[/quote]
Da quel che hai scritto all'inizio direi che ha ragione ciampax; infatti:
"kkkcristo":
$(1+x)^n >= 1 + nx + (n(n+1))/(2)x^2 + (n(n+1)(n+2))/(6)x^3$ per ogni n $in$ N ed ogni x > 0
e non vedo $(n(n-1))/2$ da nessuna parte...
Attenzione quando trascrivi i testi, please.
"Gugo82":
[quote="kkkcristo"][quote="ciampax"]Sei sicuro che la disuguaglianza debba valere per ogni $n$? Perché a me, con $n=1$ viene
$1+x$ a sinistra e $1+x+x^2+x^3$ a destra [...]
Con n=1 diventa
$1 + x = 1 + x$
Perchè $((n(n-1))/2)*x^2$ diventa 0 e lo stesso vale per l'ultimo addendo. Non so che conti tu abbia fatto...[/quote]
Da quel che hai scritto all'inizio direi che ha ragione ciampax; infatti:
"kkkcristo":
$(1+x)^n >= 1 + nx + (n(n+1))/(2)x^2 + (n(n+1)(n+2))/(6)x^3$ per ogni n $in$ N ed ogni x > 0
e non vedo $(n(n-1))/2$ da nessuna parte...
Attenzione quando trascrivi i testi, please.
[/quote]Chiedo scusa a tutti, ora ho corretto. Ho sbagliato a riportare il testo. Spero che ora possiate aiutarmi, grazie.
Ma non basta sviluppare $(1+x)^n$ con il binomio di Newton e trascurare i termini di grado maggiore o eguale a quattro ??
E certo che basta... Non so perchè, ma sembra che kkkcristo si sia perso nel proverbile bicchier d'acqua.
"Gugo82":
E certo che basta... Non so perchè, ma sembra che kkkcristo si sia perso nel proverbile bicchier d'acqua.
Infatti, non avevo notato che 2 e 6 sono rispettivamente 2! e 3! così mi sono perso. Comunque subito dopo aver corretto il mio errore qui sopra mi sono reso conto che era veramente semplicissimo. Insomma, per $0<=x<=3$ vale l'uguaglianza, per x>3 vale la maggioranza. Scusatemi ^.^
Penso volessi scrivere:
"Insomma, per $n<=3$ vale l'uguaglianza, per $n>3$ la maggiorazione."
Te lo ripeto: fai attenzione quando scrivi (non tanto per il forum - per noi questi sono errori veniali - quanto per la tua vita universitaria: molte volte i docenti di Matematica sanno essere davvero pignoli!).
"Insomma, per $n<=3$ vale l'uguaglianza, per $n>3$ la maggiorazione."
Te lo ripeto: fai attenzione quando scrivi (non tanto per il forum - per noi questi sono errori veniali - quanto per la tua vita universitaria: molte volte i docenti di Matematica sanno essere davvero pignoli!).
"Gugo82":
Penso volessi scrivere:
"Insomma, per $n<=3$ vale l'uguaglianza, per $n>3$ la maggiorazione."
Te lo ripeto: fai attenzione quando scrivi (non tanto per il forum - per noi questi sono errori veniali - quanto per la tua vita universitaria: molte volte i docenti di Matematica sanno essere davvero pignoli!).
Confermo!
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