Dimostrare derivata di e^x per mezzo della serie di Taylor
Ciao a tutti
mi trovo davanti a questo esercizio:
sapendo che la seria di Taylor di $e^{x}$ è:
$e^{x} = sum_(n = 0)^(oo) \frac{x^{n}}{n!}$
dimostrare che
$ \frac{d}{dx} e^{x} = e^{x} $
io ho pensato che, essendo la serie di Taylor, una serie di somme per definizione, allora la derivata di una somma non sarà altro che la somma delle derivate, quindi se prendo
$ e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{x^{n}}{n!}$
allora la sua derivata mi da
$ \frac{d}{dx} e^{x} = 0 + 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots + \frac{x^{n-2}}{(n-2)!} + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$
qui mi trovo in pochino in difficoltà.
Posso dire che, essendo che $n$ va ad infinito, le due sommatorie sono uguali?
ad istinto direi di no, ma non ne sono sicuro. Nel caso il mio istinto avesse ragione, qualcuno mi può suggerire il passaggio successivo per arrivare alla dimostrazione ?
grazie
mi trovo davanti a questo esercizio:
sapendo che la seria di Taylor di $e^{x}$ è:
$e^{x} = sum_(n = 0)^(oo) \frac{x^{n}}{n!}$
dimostrare che
$ \frac{d}{dx} e^{x} = e^{x} $
io ho pensato che, essendo la serie di Taylor, una serie di somme per definizione, allora la derivata di una somma non sarà altro che la somma delle derivate, quindi se prendo
$ e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{x^{n}}{n!}$
allora la sua derivata mi da
$ \frac{d}{dx} e^{x} = 0 + 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots + \frac{x^{n-2}}{(n-2)!} + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$
qui mi trovo in pochino in difficoltà.
Posso dire che, essendo che $n$ va ad infinito, le due sommatorie sono uguali?
ad istinto direi di no, ma non ne sono sicuro. Nel caso il mio istinto avesse ragione, qualcuno mi può suggerire il passaggio successivo per arrivare alla dimostrazione ?
grazie
Risposte
non dovrebbe stare nella sezione di analisi questa domanda?
Ma si, dai, hai finito. Le due sommatorie non sono uguali, ma ne devi prendere il limite per $n\to \infty$: i due limiti sono evidentemente uguali.
dissonance non so come ringraziarti!!!!
ragazzi questo forum è fantastico.
Peccato che siano più le volte che chiedo aiuto delle volte che posso aiutare!!!
ragazzi questo forum è fantastico.
Peccato che siano più le volte che chiedo aiuto delle volte che posso aiutare!!!
La derivata passa sotto il segno di serie grazie al fatto che la serie converge uniformemente. E' un teorema di analisi 1, lo puoi trovare dove parla di successioni di funzioni (in questo caso $f_n$ sarebbe la somma parziale).
Paola
Paola
"prime_number":...sugli intervalli limitati. Precisamente, per ogni $a < b$, si ha che
la serie converge uniformemente[...]
$"sup"_{x \in [a, b]}|sum_{k=0}^n frac{x^n}{k!} - e^x| \to 0$ quando $n \to \infty$.
Voglio sottolineare: non è vero che
$"sup"_{x \in RR} |sum_{k=0}^n frac{x^n}{k!} - e^x| \to 0.$
@Paola: Naturalmente non mi sto rivolgendo a te! Come dice Celentano, lo so che tu lo sai. Però è una questione su cui io mi sono confuso parecchio ai tempi (vedi: https://www.matematicamente.it/forum/ser ... 64595.html ) e quindi mi è sembrato opportuno questo piccolo remark.
[mod="Martino"]Clamoroso. Sposto in analisi. Attenzione in futuro, grazie.[/mod]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo