Dimostrare decrescenza successione
Ciao.
Si tratta di dimostrare la decrescenza della nota successione $(b_n)_n$, definita da $b_n = (1+1/n)^{n+1}$ con $n in NN^+$, che ha come estremo inferiore il numero $e$.
Sul testo da cui sto studiando si dimostra prima la crescenza di $(a_n)_n$, definita da $a_n = (1+1/n)^n$ con $n in NN^+$, nel modo seguente.
Proviamo che $a_n <= a_{n+1}$, ossia che
$(1+1/n)^n <= (1+1/{n+1})^{n+1}$
$root(n+1)((1+1/n)^n) <= 1+1/{n+1} = {n+2}/{n+1}$
In virtù della relazione $root(n)(x_1 x_2 cdots x_n) <= {x_1 + x_2 + cdots + x_n}/n$ con $x_1, x_2, cdots, x_n in RR^+$, si ha
$root(n+1)(1 cdot (1+1/n)^n) <= {1+n cdot (1+1/n)}/{n+1} = {n+2}/{n+1}$
Abbiamo quindi dimostrato che la successione $(a_n)_n$ è crescente.
Il testo prosegue affermando che la decrescenza della successione $(b_n)_n$ si prova in modo analogo, ma con qualche piccolo fastidio in più.
Ho cercato di applicare lo stesso procedimento utilizzato per la prima successione ma senza successo, qualcuno ci riesce?
Grazie!
Si tratta di dimostrare la decrescenza della nota successione $(b_n)_n$, definita da $b_n = (1+1/n)^{n+1}$ con $n in NN^+$, che ha come estremo inferiore il numero $e$.
Sul testo da cui sto studiando si dimostra prima la crescenza di $(a_n)_n$, definita da $a_n = (1+1/n)^n$ con $n in NN^+$, nel modo seguente.
Proviamo che $a_n <= a_{n+1}$, ossia che
$(1+1/n)^n <= (1+1/{n+1})^{n+1}$
$root(n+1)((1+1/n)^n) <= 1+1/{n+1} = {n+2}/{n+1}$
In virtù della relazione $root(n)(x_1 x_2 cdots x_n) <= {x_1 + x_2 + cdots + x_n}/n$ con $x_1, x_2, cdots, x_n in RR^+$, si ha
$root(n+1)(1 cdot (1+1/n)^n) <= {1+n cdot (1+1/n)}/{n+1} = {n+2}/{n+1}$
Abbiamo quindi dimostrato che la successione $(a_n)_n$ è crescente.
Il testo prosegue affermando che la decrescenza della successione $(b_n)_n$ si prova in modo analogo, ma con qualche piccolo fastidio in più.
Ho cercato di applicare lo stesso procedimento utilizzato per la prima successione ma senza successo, qualcuno ci riesce?
Grazie!
Risposte
Notiamo che $b_n = ((n+1)/n)^(n+1)$ (inoltre $b_n>=1$ per ogni $n$)
Sia $c_n:= 1/(b_n)= (n/(n+1))^(n+1)$. Se dimostriamo che $c_n$ è crescente, abbiamo che $1/(c_n)$ è decrescente.
Dobbiamo pertanto dimostrare che $c_{n-1}<= c_n <=> ((n-1)/n)^n <= (n/(n+1))^(n+1)<=> root(n+1)(((n-1)/n)^n )<= n/(n+1)$
A te
Sia $c_n:= 1/(b_n)= (n/(n+1))^(n+1)$. Se dimostriamo che $c_n$ è crescente, abbiamo che $1/(c_n)$ è decrescente.
Dobbiamo pertanto dimostrare che $c_{n-1}<= c_n <=> ((n-1)/n)^n <= (n/(n+1))^(n+1)<=> root(n+1)(((n-1)/n)^n )<= n/(n+1)$
A te
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