Dimostrare decrescenza (serie a segni alterni)

[Christiantric]

Ragazzi sto risolvendo una serie a segni alterni e per poter applicare Leibniz devo dimostrare che
la funzione $sqrt(2+k^2)-k$ è strettamente decrescente. Ma non riesco a ritrovarmici...aiuto!

[son Goku1]

se fai la derivata e questa è sempre negativa, allora senza dubbio la funzione in questione è strettamente decrescente, sennò puoi dimostrarlo anche in altri modi

[Christiantric]

"GuillaumedeL'Hopital":se fai la derivata e questa è sempre negativa, allora senza dubbio la funzione in questione è strettamente decrescente, sennò puoi dimostrarlo anche in altri modi

Ecco sono gli altri modi quelli che mi interessano. In particolare vorrei dimostrarla provando a vedere che
$a_(k+1)

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[son Goku1]

try to induction! is easy

[_Tipper]

Devi mostrare che $a_(k+1) < a_k$.
Allora io farei così: imposta questa disequazione:
$sqrt(2 + (k+1)^2) - (k+1) < sqrt(2 + k^2) - k$
svolgendo i conti si ottiene:
$sqrt(k^2 + 2k + 3) < sqrt(2 + k^2) + 1$ ed elevando al quadrato:
$k^2 + 2k + 3 < 2 + k^2 + 1 + 2 sqrt(2 + k^2)$ cioè
$2k < 2 sqrt(2 + k^2)$ semplificando il 2 ed elevando ancora al quadrato:
$k^2 < 2 + k^2$
questo è vero per tutti i $k$, quindi è dimostrata la decrescenza

[Christiantric]

"GuillaumedeL'Hopital":try to induction! is easy

Infatti quello che provo a fare è vedere se
$sqrt(2+(k+1)^2)-(k+1) qualche trasfomazione che potrebbe semplificarmi la vita...per questo chiedevo..

[Christiantric]

E poi ho appena provato a risolvere con il metodo della derivata da te consigliato ma anche qui nutro seri dubbi...allora facciamo una cosa: secondo te questa successione è decrescente? o se vuoi: la serie $sum_(k=0)^(oo)(-1)^k(sqrt(2+k^2)-k)$ converge semplicemente?

[Christiantric]

"Tipper":Devi mostrare che $a_(k+1) < a_k$.
Allora io farei così: imposta questa disequazione:
$sqrt(2 + (k+1)^2) - (k+1) < sqrt(2 + k^2) - k$
svolgendo i conti si ottiene:
$sqrt(k^2 + 2k + 3) < sqrt(2 + k^2) + 1$ ed elevando al quadrato:
$k^2 + 2k + 3 < 2 + k^2 + 1 + 2 sqrt(2 + k^2)$ cioè
$2k < 2 sqrt(2 + k^2)$ semplificando il 2 ed elevando ancora al quadrato:
$k^2 < 2 + k^2$
questo è vero per tutti i $k$, quindi è dimostrata la decrescenza

Grazie mille tipper era quello che volevo sapere...non mi era venuto di elevare il tutto al quadrato..grazie ancora per la dritta