Dimostrare convergenza uniforme successione di funzioni
Buongiorno! 
Devo stabilire la convergenza puntuale e uniforme e i sottoinsiemi di $mathbbR$ in cui la seguente successione converge a $f(x)$ uniformemente : $f_n(x)=n *e^(-n^2x^2)x$
Ho verificato che la successione converge puntualmente a $f(x)=0 \forall x\in mathbbR$.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme considero l'intervallo $I=[0,\+infty)$ poichè $f_n(x)$ è pari.
Calcolo $\lim_{n\to\infty}$ sup$ |f_n(x) - f(x)|= \lim_{n\to\infty}$ sup$ |f_n(x)|=\lim_{n\to\infty}$ sup$ f_n(x) $
Calcolando la derivata di $f_n(x)$ trovo un massimo in $x=1/sqrt(2)n$ e sup$=1/sqrt(2)e$.
Il limite è perciò diverso da $0$ e la successione non converge uniformemente su $[0,\+infty)$ e per simmetria nemmeno su $(-\infty,0]$.
Posso a questo punto considerare i sottoinsiemi di $mathbbR$ del tipo $[-a,a]$ e $(-\infty,a], [a,+\infty) $con $a>0$, come faccio però a capire su quali converge e su quali no?
Grazie!!
Devo stabilire la convergenza puntuale e uniforme e i sottoinsiemi di $mathbbR$ in cui la seguente successione converge a $f(x)$ uniformemente : $f_n(x)=n *e^(-n^2x^2)x$
Ho verificato che la successione converge puntualmente a $f(x)=0 \forall x\in mathbbR$.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme considero l'intervallo $I=[0,\+infty)$ poichè $f_n(x)$ è pari.
Calcolo $\lim_{n\to\infty}$ sup$ |f_n(x) - f(x)|= \lim_{n\to\infty}$ sup$ |f_n(x)|=\lim_{n\to\infty}$ sup$ f_n(x) $
Calcolando la derivata di $f_n(x)$ trovo un massimo in $x=1/sqrt(2)n$ e sup$=1/sqrt(2)e$.
Il limite è perciò diverso da $0$ e la successione non converge uniformemente su $[0,\+infty)$ e per simmetria nemmeno su $(-\infty,0]$.
Posso a questo punto considerare i sottoinsiemi di $mathbbR$ del tipo $[-a,a]$ e $(-\infty,a], [a,+\infty) $con $a>0$, come faccio però a capire su quali converge e su quali no?
Grazie!!
Risposte
Devi rifare il sup su quegli insiemi invece che su tutto $\mathbb R$.
va bene, grazie!
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