Dimostrare continuità di funzione tra spazi metrici

[Sephir8]

Salve a tutti, ho un problema che non riesco a risolvere:

dimostrare che $D: (C^1([a,b]), ||*||_L)->(C^0([a,b]), ||* ||_oo)$ definita da $D(f)=f'$ è continua.

E' corretto pensarla con la usuale definizione di limite per cui se due elementi del dominio f e g (funzioni derivabili con continuità) sono abbastanza "vicini" (nella metrica lagrangiana) allora sono "vicine" (nella metrica dell'estremo superiore) anche le immagini f' e g'? Ragionando in questo modo io ho impostato come segue:

$AAepsilon>0\ EEdelta=delta(epsilon): Max_{tin[a,b]}|f(t)-g(t)| Sup_{tin[a,b]}|f'(t)-g'(t)|
il problema è che ora non riesco a proseguire...qualcuno può illuminarmi? Intanto vorrei sapere se almeno l'impostazione che ho dato ha senso e non ho detto una boiata immensa, grazie!

[gugo82]

La norma $||\cdot ||_L$ è quella definita come segue: $||f||_L:=||f||_oo+||f'||_oo$?

In questo caso hai $||f'-g'||_oo<=||f-g||_L$ ed è banale concludere.

[Sephir8]

che stupido su $C^1$ la norma lagrangiana è proprio quella che hai scritto tu e il problema si risolve subito; stavo ragionando con la norma lagrangiana che si usa su $C^0$ che non coinvolge le derivate prime!
Un altro piccolo dubbio, nell'annotazione che ho usato avrei dovuto specificare che $delta$ dipende oltre che da $epsilon$ anche da $f$?

Grazie!

[gugo82]

La maggiorazione che ho scritto mostra che $D$ è lipschitziana con costante di Lipschitz pari ad $1$: quindi $D$ è addirittura uniformemente continua.
Ciò implica che $delta$ dipende unicamente da $epsilon$.

[Sephir8]

grazie mille Gugo, ne sai una più del diavolo!

[gugo82]

Mi verrebbe da chiederti: la costante $1$ è quella ottimale nella maggiorazione?

Spiego la domanda.
Abbiamo visto che, per ogni $f \in C^1$, si ha $||f'||_oo<=1*||f||_L$; evidentemente possiamo portare la costante di Lipschitz $1$ al primo membro e scrivere $1*||f||_oo<=||f||_L$: in tal modo, comunque scegliamo $0<=c<=1$, troviamo:

(*) $\quad c*||f'||_oo<=||f||_L \quad$.

Perciò ha senso porre il seguente problema:

"Qual è l'estremo superiore della classe $\ccC:=\{ c>=0: AA f in C^1, c*||f'||_oo<=||f||_L\}$?"

Un problema come il precedente è detto problema di ottimizzazione e la costante $C:="sup "\ccC$ è detta costante ottimale per la disuguaglianza (*).

Da quanto osservato, sappiamo che $[0,1]\subseteq \ccC$, quindi $C="sup "\ccC >=1$.
Ma si può dire che $C=1$?

Evidentemente la costante ottimale può anche essere caratterizzata come segue:

$\quad C="inf "\{ (||f||_L)/(||f'||_oo), " con " f\in C^1 " ed " f " non costante"\} \quad$;

quindi un problema di ottimizzazione è, in generale, un problema di Calcolo delle Variazioni.

Suggerimento: supporre $f'!=0$, dividere ambo i membri della (*) per $||f'||_oo$, spezzare il secondo membro e vedere come si comporta il rapporto $(||f||_oo)/(||f'||_oo)$.
Per comodità, assumere che $a=0,b=1$.

[Sephir8]

mmm forse non ho ancora le conoscenze adeguate per risolvere un problema del genere (studio ingegneria e stiamo trattando da poco questi argomenti), ma sono comunque curioso di conoscere la risposta!
Se non ho capito male mi stai chiedendo qual è il valore più grande di $c$ per cui resta valida in $C^1$ la disuguaglianza $c*||f'||_oo<=||f||_L$; supponendo $f$ non costante e dividendo per $||f'||_oo$ (come da suggerimento) e sfruttando la relazione valida in $CC^1$ $||f||_L=||f||_oo+||f'||_oo$ ottengo $c<=1+||f||_oo/||f'||_oo$ è corretto?
Da qui però cosa posso dedurre sul valore di c? ci dev'essere qualcosa di particolare che non riesco a cogliere nel rapporto tra le due norme....

[gugo82]

Tenta di immaginare cosa fa il rapporto $(||f||_oo)/(||f'||_oo)$...
Ad esempio, lo puoi rendere piccolo a piacere scegliendo opportunamente la $f$?

Se potessi rendere quel rapporto piccolo a tuo piacimento, per ogni fissato $epsilon>0$ esisterebbe una $f_epsilon \in C^1$ non costante tale che $(||f_epsilon||_oo)/(||f_epsilon'||_oo)
$AAepsilon >0,\quad 1<=C="inf "\{1+(||f||_oo)/(||f'||_oo), " con " f\in C^1 " ed " f " non costante"\} <= 1+(||f_epsilon||_oo)/(||f_epsilon'||_oo)<1+epsilon$

e quindi $C=1$.

Il bello è che quel rapporto può effettivamente essere reso molto piccolo!
La dimostrazione di questo fatto non è difficile: lascio un po' di tempo a chi vuole cercare il modo (e le funzioni appropriate).

Casomai, se nessuno ci riesce, metto la soluzione stanotte.

[gugo82]

Non voglio rovinare la sorpresa a chi ha letto solo ora il problema, quindi spoilerizzo la mia soluzione.

Suppongo per comodità di calcolo $a=0,b=1$.
L'idea è quella di costruire una funzione $f_epsilon \in C^1$ la cui derivata abbia massimo molto grande rispetto a $||f_epsilon||_oo$; questo vuol dire che ogni possibile funzione $f_epsilon$ deve crescere molto velocemente in un intervallo molto piccolo e poi "non esplodere" nel resto dell'intervallo $[0,1]$.

Fissato $epsilon<=1$ poniamo:

$f_epsilon'(x):=\{(2/epsilon^2x, ", se " 0<=x<=epsilon/2),(-2/epsilon^2x+2/epsilon, ", se " epsilon/2<=x<=epsilon),(0, ", se " epsilon<=x<=1 ):}$

ed:

$f_epsilon(x):=\int_0^x f_epsilon'(t)" d"t \quad$.

Di seguito riporto il grafico di $f_epsilon$ (in blu) ed $f_epsilon'$ (in rosso) per $epsilon=1/4$:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=4;
axes(0.25,1,"labels",0.25,1,"grid");
stroke="red";
plot("32*x", 0,0.125);
plot("-32*x+8", 0.125,0.25);
plot("0", 0.25,1);
stroke="blue";
plot("16*x^2",0,0.125);
plot("-16*x^2+8*x-0.5",0.125,0.25);
plot("0.5",0.25,1);[/asvg]
Si vede che:

- $||f_epsilon||_oo=\int_0^1f_epsilon'(t)" d"t=1/2$ (infatti la $f_epsilon$ è crescente, quindi $max f_epsilon=f_epsilon(1)$);
- $||f_epsilon'||_oo=f_epsilon(epsilon/2)=1/epsilon$;

pertanto risulta $(||f_epsilon||_oo)/(||f_epsilon'||_oo)=epsilon/2 < epsilon$.
D'altra parte, per $epsilon >1$ basta porre $f_epsilon=f_1$, di modo che $(||f_epsilon||_oo)/(||f_epsilon'||_oo)=(||f_1||_oo)/(||f_1'||_oo)=1/2 < epsilon$.

Con ciò rimane provato che $AA epsilon >0, exists f_epsilon \in C^1([0,1]) " non costante": (||f_epsilon||_oo)/(||f_epsilon'||_oo) < epsilon$, come volevamo.

Inoltre il valore ottimale $ 1 $ non è mai assunto dal rapporto $(||f||_L)/(||f'||_oo)$: infatti affinché risulti $(||f||_L)/(||f'||_oo)=1$ dovremmo avere $||f||_oo=0$ ossia $f=0$, ma in tal caso il rapporto $(||f||_L)/(||f'||_oo)$ non sarebbe definito.

[Sephir8]

potrebbe andare una $f_epsilon$ definita in questo modo?
$f_epsilon(t)={(0\ "se t<=0"),(kt\ "se 0< t <1/k"),(1 "se\ t\geq1/k):}
prendendo $k>1/epsilon$ il rapporto tra le norme dovrebbe essere minore di epsilon....$||f||_oo/||f'||_oo$ posso quindi renderlo piccolo a piacere per tutte le funzioni limitate aventi degli intervalli (limitati) con derivata grande a piacere?

[gugo82]

La tua $f_epsilon$ (che poi sarebbe meglio denotare $f_k$, no? ) ha il difetto di non essere $C^1$, quindi non sta nello spazio in cui ambientiamo il problema...

Tuttavia hai catturato l'essenza della questione: le funzioni che rendono piccolo il rapporto $||f||_oo/||f'||_oo$ sono quelle che sono costanti nell'intervallo a parte che in un piccolo sottointervallo, in cui crescono/descrescono molto rapidamente.

[Sephir8]

ho letto ora la tua soluzione spoilerata, ottima l'idea di prendere la funzione integrale per darle quel pizzico di regolarità in più che ci vuole! in effetti mi sembrava troppo facile con una funzione come la mia...!