Dimostrare che $w$ è soluzione debole
Salve a tutti!
Avrei bisogno di un aiuto nel risolvere un problema.
Il problema è:
\begin{equation} \label{autovalori}
\begin{cases} \Delta\:g+ \lambda \:g=0\quad {\rm in}\;D \\ g=0\quad {\rm su} \; \partial D.\end{cases}
\end{equation}
Il dominio $D$ è formato da due triangoli $T_1$ e $T_2$ che hanno un lato comune, che chiamo $L$.
Ora ho trovato una funzione $u$ che risolve $\Deltag+ \lambda g=0$ in $T_1$ e che si annulla sui lati del triangolo $T_1$ diversi da $L$ e una funzione $v$ tale che $\Delta\v+ \lambda \v=0$ in $T_2$ e che si annulla sui lati di questo triangolo diversi da $L$.
Ho poi dimostrato che $u$ e $v$ si incollano in modo regolare ( cioè $C^1$) lungo $L$.
Quello che non mi riesce fare è dimostrare che la funzione $w$, che coincide con $u$ su $T_1$ e con $v$ su $T_2$ è soluzione debole del mio problema.
Ho appena incominciato a studiare le PDE e non so molto bene cosa fare...Ancora non mi è stata data con precisione la definizione di soluzione debole...
La condizione che devo verificare è:
$\int_{D} \nabla u \nabla \phi dx=\lambda \int_{D} u \phi \dx$ per ogni funzione test $\phi \in C^infty $ a supporto compatto?
Dopo come potrei procedere?
Avevo pensato di spezzare l' integrale a primo membro in questo modo $\int_{T_1\cap sprt(\phi)}...+\int_{T_2\cap sprt(\phi)}$ (con $sprt$ indico il supporto), di usare poi l'identità \( \bigtriangledown w \bigtriangledown \phi=div(\phi\bigtriangledown w)-\phi\bigtriangleup w \) e poi magari usare il teorema della divergenza...però non so come procedere...
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!!!
Avrei bisogno di un aiuto nel risolvere un problema.
Il problema è:
\begin{equation} \label{autovalori}
\begin{cases} \Delta\:g+ \lambda \:g=0\quad {\rm in}\;D \\ g=0\quad {\rm su} \; \partial D.\end{cases}
\end{equation}
Il dominio $D$ è formato da due triangoli $T_1$ e $T_2$ che hanno un lato comune, che chiamo $L$.
Ora ho trovato una funzione $u$ che risolve $\Deltag+ \lambda g=0$ in $T_1$ e che si annulla sui lati del triangolo $T_1$ diversi da $L$ e una funzione $v$ tale che $\Delta\v+ \lambda \v=0$ in $T_2$ e che si annulla sui lati di questo triangolo diversi da $L$.
Ho poi dimostrato che $u$ e $v$ si incollano in modo regolare ( cioè $C^1$) lungo $L$.
Quello che non mi riesce fare è dimostrare che la funzione $w$, che coincide con $u$ su $T_1$ e con $v$ su $T_2$ è soluzione debole del mio problema.
Ho appena incominciato a studiare le PDE e non so molto bene cosa fare...Ancora non mi è stata data con precisione la definizione di soluzione debole...
La condizione che devo verificare è:
$\int_{D} \nabla u \nabla \phi dx=\lambda \int_{D} u \phi \dx$ per ogni funzione test $\phi \in C^infty $ a supporto compatto?
Dopo come potrei procedere?
Avevo pensato di spezzare l' integrale a primo membro in questo modo $\int_{T_1\cap sprt(\phi)}...+\int_{T_2\cap sprt(\phi)}$ (con $sprt$ indico il supporto), di usare poi l'identità \( \bigtriangledown w \bigtriangledown \phi=div(\phi\bigtriangledown w)-\phi\bigtriangleup w \) e poi magari usare il teorema della divergenza...però non so come procedere...
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!!!
Risposte
Ho capito come si fa concludere.
Mi manca solo da capire una cosa: $\int_{D} \nabla u \nabla \phi dx=\lambda \int_{D} u \phi \dx$ per ogni funzione test $\phi \in C^infty $ a supporto compatto è la definizione di soluzione debole per il problema
\begin{equation} \label{autovalori}
\begin{cases} \Delta\:g+ \lambda \:g=0\quad {\rm in}\;D \\ g=0\quad {\rm su} \; \partial D.\end{cases}
\end{equation}?
Guardando in giro non ho trovato proprio questa come definizione...grazie
Mi manca solo da capire una cosa: $\int_{D} \nabla u \nabla \phi dx=\lambda \int_{D} u \phi \dx$ per ogni funzione test $\phi \in C^infty $ a supporto compatto è la definizione di soluzione debole per il problema
\begin{equation} \label{autovalori}
\begin{cases} \Delta\:g+ \lambda \:g=0\quad {\rm in}\;D \\ g=0\quad {\rm su} \; \partial D.\end{cases}
\end{equation}?
Guardando in giro non ho trovato proprio questa come definizione...grazie
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