Dimostrare che una serie non converge totalmente
Salve a tutti 
Oggi abbiamo introdotto a lezione la nozione di convergenza totale.
Adesso mi chiedo, come si fa a stabilire se una funzione non converge totalmente?
Cioè io so che posso dire in soldoni che una volta trovata una funzione definita positiva che maggiora il termine generale della serie di funzioni e che converge, che la mia serie converge totalmente.
La scrivo meglio per chi non ama troppo le parole
$sum f_n(x)$ converge totalmente in $X \sub RR$ se e solo se $EE {M_n}$ positiva tale che
1)$|f_n(x)|<=M_n AA n in NN$ e $AAx in X$
2)$sum M_n$ converge
Ma come faccio a dimostrare, in generale, che non esiste questa successione che mi da la convergenza totale?
Oggi abbiamo introdotto a lezione la nozione di convergenza totale.
Adesso mi chiedo, come si fa a stabilire se una funzione non converge totalmente?
Cioè io so che posso dire in soldoni che una volta trovata una funzione definita positiva che maggiora il termine generale della serie di funzioni e che converge, che la mia serie converge totalmente.
La scrivo meglio per chi non ama troppo le parole
$sum f_n(x)$ converge totalmente in $X \sub RR$ se e solo se $EE {M_n}$ positiva tale che
1)$|f_n(x)|<=M_n AA n in NN$ e $AAx in X$
2)$sum M_n$ converge
Ma come faccio a dimostrare, in generale, che non esiste questa successione che mi da la convergenza totale?
Risposte
Ciao caffeinaplus,
In realtà il problema che si pone di solito è l'opposto, cioè dimostrare la convergenza totale, perché essa implica tutte le altre (mentre non è vero il viceversa). Per uno schema riassuntivo sui tipi di convergenza puoi dare un'occhiata ad esempio qui e/o qui.
"caffeinaplus":
Ma come faccio a dimostrare, in generale, che non esiste questa successione che mi da la convergenza totale?
In realtà il problema che si pone di solito è l'opposto, cioè dimostrare la convergenza totale, perché essa implica tutte le altre (mentre non è vero il viceversa). Per uno schema riassuntivo sui tipi di convergenza puoi dare un'occhiata ad esempio qui e/o qui.
Ciao piloeffe e grazie della risposta
Si a lezione abbiamo visto le varie implicazioni, ma io mi domandavo, mettiamo che ho convergenza uniforme di una serie e voglio dimostrare che non converge totalmente perchè ... perchè si
Come si fa?
Ragionando un amico mi ha proposto
se $sum f_n(x)$ è la nostra serie costruiamo una serie $sum d_n(x)$ fatta da sup$(f_n(x))$ di $x in X$ al variare di n.
Dice, se questa non converge che è la serie numerica più piccola che maggiora la nostra serie allora non posso costruirne nessuna che la maggiora e converge quindi viene meno la prima richiesta per la convergenza totale, però non mi convince del tutto.
Grazie in anticipo
Si a lezione abbiamo visto le varie implicazioni, ma io mi domandavo, mettiamo che ho convergenza uniforme di una serie e voglio dimostrare che non converge totalmente perchè ... perchè si
Come si fa?
Ragionando un amico mi ha proposto
se $sum f_n(x)$ è la nostra serie costruiamo una serie $sum d_n(x)$ fatta da sup$(f_n(x))$ di $x in X$ al variare di n.
Dice, se questa non converge che è la serie numerica più piccola che maggiora la nostra serie allora non posso costruirne nessuna che la maggiora e converge quindi viene meno la prima richiesta per la convergenza totale, però non mi convince del tutto.
Grazie in anticipo
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