Dimostrare che una funzione è maggiore di un'altra

[IgnoranteDaSchifo]

Ciao a tutti ragazzi, il mio problema è sostanzialmente capire come risolvere una disequazione,ovvero questa:
$ arctg(1/x) -(x)/(1+x^2)>0 $ per $ x in (0,+oo)$
Altrimenti ci sono "modi alternativi" per dimostrarlo?

Grazie

[theras]

Beh..certo è come,
indicata con $f(x)="arctg"1/x-x/(1+x^2):(0,+oo) to RR$ la funzione reale di variabile reale associabile al I°membro della tua disequazione,
abbiamo che $EElim_(x to 0^+)f(x)=pi/2,lim_(x to +oo)f(x)=0$;
se pertanto riuscissimo a verificare che la f decresce in tutto il suo intervallo di definizione,
potremmo affermare che $imf=(0,pi/2)rArrf(x)>0$ $AAx indomf=(0,+oo)$
(ovvero la disequazione,in quell'intervallo,è sempre verificata!):
ed un modo per dimostrare la decrescenza di $f$ nel suo dominio ci sarebbe..
Vengo ora al punto importante dicendo che questi quesiti quesiti s'affrontano con una strategia di fondo comune
(quella "grafica"..),
ma ciò non vuol dire che le tecniche siano del tutto "standard":
ora che dovresti aver rotto il ghiaccio,buon lavoro per altri casi
(per i quali,eventualmente,t'invito a postare i tuoi ragionamenti,
che non sempre è possibile dedurre le difficoltà da poche parole..)!
Saluti dal web.

[gugo82]

Ci si può arrivare anche per altra via.

Ad esempio, ponendo \( y = \arctan 1/x\), si ha \(x\in ]0,\pi/2[\) e dunque:
\[
x=\frac{1}{\tan y} \qquad \Rightarrow \qquad 1+x^2 = \frac{1}{\sin^2 y} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{x}{1+x^2}=\cos y\ \sin y =\frac{1}{2}\ \sin 2y
\]
quindi la disuguaglianza si riscrive:
\[
2y>\sin 2y
\]
e questa è sicuramente vera per ogni \(y>0\); pertanto anche la disuguaglianza di partenza è vera.

[IgnoranteDaSchifo]

theras dovevo postarli
Era proprio ai limiti che pensavo,solo che non ero sicuro se i limiti e la crescenza bastassero per dimostrare lecitamente la disequazione.
La f è decrescente essendo la derivata prima sempre negativa per l'insieme considerato.
Grazie theras e grazie Gugo.