Dimostrare che una funzione è maggiore di un altra

[gully_93]

Ciao a tutti.
Come posso dimostarre che $e^x>2x $ per ogni $ x in R $ ?

[Mephlip]

Prova a scrivere $e^x$ come serie.

[Palliit]

In alternativa: appurato che la diseguaglianza è ovviamente vera $forall x<=0$, prova per $x>0$ a riscriverla come:

$" "xe^(-x)<1/2" "$;

una veloce analisi dei punti stazionari della funzione a primo membro ti dà una risposta definitiva.

[axpgn]

Per $x<0$, è vera perché il membro di sinistra è sempre positivo mentre quello di destra è sempre negativo.
Per $x=0$, è vera perché $e^0>2*0\ ->\ 1>0$
Per $x>0$ passiamo ai logaritmi … $ln(e^x)=ln(2x)\ ->\ x>ln(x)+ln(2)$
Dato che è sempre $x>ln(x)$ e che $ln(2)$ è negativo allora è vera pure in quest'ultimo caso.

$x>ln(x)$ è sempre vera perché $f(x)=x$ è strettamente monotona crescente e nel dominio considerato è sempre positiva; anche $f(x)=ln(x)$ è strettamente monotona crescente ma in $01$ la sua pendenza è $1/x$ ovvero minore di $1$ e quindi minore della pendenza di $x$ (cioè sale "di meno" e quindi non si incontreranno mai)

Cordialmente, Alex

[gully_93]

grazie tutti per le risposte. Io mi ero limitato a rappresentare graficamente le due funzioni.

[gully_93]

"axpgn":Per $x<0$, è vera perché il membro di sinistra è sempre positivo mentre quello di destra è sempre negativo.
Per $x=0$, è vera perché $e^0>2*0\ ->\ 1>0$
Per $x>0$ passiamo ai logaritmi … $ln(e^x)=ln(2x)\ ->\ x>ln(x)+ln(2)$
Dato che è sempre $x>ln(x)$ e che $ln(2)$ è negativo allora è vera pure in quest'ultimo caso.

$x>ln(x)$ è sempre vera perché $f(x)=x$ è strettamente monotona crescente e nel dominio considerato è sempre positiva; anche $f(x)=ln(x)$ è strettamente monotona crescente ma in $01$ la sua pendenza è $1/x$ ovvero minore di $1$ e quindi minore della pendenza di $x$ (cioè sale "di meno" e quindi non si incontreranno mai)

Cordialmente, Alex

Grazie per la risposta. Ma $ln(2) $ non è negativo; o sbaglio?

[gugo82]

Come cantavano Al Bano & Romina Power: convessità è tenersi per mano e andare lontano...

Tra le (mica tanto) poche proprietà basilari della funzione esponenziale c'è quella di essere derivabile e strettamente convessa in tutto $RR$; ciò significa che per ogni fissato $x_0 in RR$ la disuguaglianza:
\[
f(x) \geq f^\prime (x_0)\ (x-x_0) + f(x_0)
\]
vale ovunque in $RR$ (i.e., per ogni $x$) e che il segno di $=$ vale solo per $x=x_0$.
In particolare, dato che $f^\prime (x) = f(x) = e^x$, la precedente si può scrivere:
\[
e^x \geq e^{x_0} (x-x_0+1)\; .
\]
Se scegliamo $x_0$ in modo che $e^{x_0}=2$, cioè se prendiamo $x_0=log 2$, la precedente implica:
\[
e^x \geq 2 (x-\log 2+1) = 2x + \underbrace{2(1-\log 2)}_{>0} > 2x
\]
per ogni $x in RR$, come si voleva.

"hi93":Ma $ln(2) $ non è negativo; o sbaglio?

[gully_93]

"gugo82":Come cantavano Al Bano & Romina Power: convessità è tenersi per mano e andare lontano...

Tra le (mica tanto) poche proprietà basilari della funzione esponenziale c'è quella di essere derivabile e strettamente convessa in tutto $RR$; ciò significa che per ogni fissato $x_0 in RR$ la disuguaglianza:
\[
f(x) \geq f^\prime (x_0)\ (x-x_0) + f(x_0)
\]
vale ovunque in $RR$ (i.e., per ogni $x$) e che il segno di $=$ vale solo per $x=x_0$.
In particolare, dato che $f^\prime (x) = f(x) = e^x$, la precedente si può scrivere:
\[
e^x \geq e^{x_0} (x-x_0+1)\; .
\]
Se scegliamo $x_0$ in modo che $e^{x_0}=2$, cioè se prendiamo $x_0=log 2$, la precedente implica:
\[
e^x \geq 2 (x-\log 2+1) = 2x + \underbrace{2(1-\log 2)}_{>0} > 2x
\]
per ogni $x in RR$, come si voleva.

[quote="hi93"]Ma $ln(2) $ non è negativo; o sbaglio?

[/quote]


grazie per la risposta.

ma $ln(2) $ nn è $=0.6931471805599453....$ ?

[gugo82]

"hi93":ma $ln(2) $ nn è $=0.6931471805599453....$ ?

Che è palesemente negativo, o sbaglio?

[gully_93]

"gugo82":[quote="hi93"]ma $ln(2) $ nn è $=0.6931471805599453....$ ?

Che è palesemente negativo, o sbaglio?[/quote]

cioè $0,6... <0$ ???!

[gully_93]

"gugo82":[quote="hi93"]ma $ln(2) $ nn è $=0.6931471805599453....$ ?

Che è palesemente negativo, o sbaglio?[/quote]

Io sono ignorante in matematica e mi mancano tutte le basi. Però sono abbastanza convinto che un numero per essere negativo debba essere minore di zero.

[gugo82]

Infatti... Stavo prendendo in giro axpgn ( ) sfruttando il tuo post.

A posteriori, mi rendo conto che il senso era un po' equivocabile.
Scusa se ti ho (dis)turbato, non era mia intenzione.

[gully_93]

"gugo82":Infatti... Stavo prendendo in giro axpgn ( ) sfruttando il tuo post.

A posteriori, mi rendo conto che il senso era un po' equivocabile.
Scusa se ti ho (dis)turbato, non era mia intenzione.

A ok. stavo per buttarmi di testa dal balcone.
Non sono molto un tipo da forum. Quindi i post sarcastici rischio di prenderli seriamente.

[axpgn]

"hi93":A ok. stavo per buttarmi di testa dal balcone.

Esagerato!

"gugo82":Infatti... Stavo prendendo in giro axpgn ( ) sfruttando il tuo post.

[gully_93]

"gugo82":
\[
f(x) \geq f^\prime (x_0)\ (x-x_0) + f(x_0)
\]

Scusa se chiedo ancora. Ma questa disequazione da dove viene fuori?

[gugo82]

"hi93":[quote="gugo82"]
\[
f(x) \geq f^\prime (x_0)\ (x-x_0) + f(x_0)
\]

Scusa se chiedo ancora. Ma questa disequazione [...][/quote]
Disuguaglianza, grazie.

"hi93":[...] da dove viene fuori?

Convessità.

[gully_93]

Alla fine ho posto $f(x)=e^x-2x $ , ho derivato e studiato il segno della derivata.
Ho visto che ho un minimo assoluto e che questo è positivo , quindi $f(x)>0 forall x in R $
Di conseguenza $e^x>2x forall x in R $