Dimostrare che una funzione è limitata
Ciao a tutti
L'esercizio mi chiede di dimostrare che è limitata la funzione
f(x):=$arctan(9x*sqrt(x))-(cos(2x))/x$ $AA$ $[2,3]uu[5,6]$ sia limitata.
Avevo pensato di utilizzare il teorema di Weierstrass per cui se una funzione è continua e definita in un intervallo chiuso e limitato allora essa è dotata di minimo e di massimo ma mi trovo in difficoltà in quanto il dominio è definito in due tratti ossia [2,3] e [5,6].
Come fare?
L'esercizio mi chiede di dimostrare che è limitata la funzione
f(x):=$arctan(9x*sqrt(x))-(cos(2x))/x$ $AA$ $[2,3]uu[5,6]$ sia limitata.
Avevo pensato di utilizzare il teorema di Weierstrass per cui se una funzione è continua e definita in un intervallo chiuso e limitato allora essa è dotata di minimo e di massimo ma mi trovo in difficoltà in quanto il dominio è definito in due tratti ossia [2,3] e [5,6].
Come fare?
Risposte
Il ragionamento è giusto: ragiona separatamente sui due intervalli, dimostra che è limitata su ciascuno di essi, e poi potrai concludere che...
essendo f continua e definita su due insiemi chiusi e limitati è limitata
Esatto. Però devi dimostrare che è continua.
E' continua perché composta di funzioni continue giusto?
Sì, e perché sono continue?
Perché sono funzioni elementari. Sento mi è venuto un dubbio: per quanto riguarda $(cos(2x))/x$ questa funzione è continua in tutto il dominio tranne 0 giusto?
Esatto.
quindi f non è continua?
Dappertutto no, ma sugli intervalli dove la stai considerando sì. Cosa ti frega di cosa fa in zero? E' incluso negli intervalli?
scusami mi sono impappinato visto che l'esercizio dice che il dominio è $[2,3]uu[5,6]$ 0 non fa parte del dominio quindi f è continua.Grazie mille per l'aiuto!!
Potresti anche considerare l'intervallo [2,6]. Qua la funzione è continua quindi ammette massimo e minimo che ovviamente ti costituiscono un bound per l'immagine di qualsiasi sottoinsieme di [2,6]
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