Dimostrare che una equazione ha delle radici reale
Ho questo esercizio, con la quale ho difficoltà a risolverlo.
Dimostrare che l'equazione $ax^4+bx+c=0$ ha al più due radici reali.
$ax^4+bx+c=0$
$ax^4+bx=-c$
allora ho pensato che per venire $-c$
$ax^4<0$ però $x^4>0$
dunque $a<0$ e $b>a$ con $c>0$
$b>0>a$ con $c>0$
ma non riesco ad arrivare ad una dimostrazione delle radici reali...
qualche suggerimento?
Dimostrare che l'equazione $ax^4+bx+c=0$ ha al più due radici reali.
$ax^4+bx+c=0$
$ax^4+bx=-c$
allora ho pensato che per venire $-c$
$ax^4<0$ però $x^4>0$
dunque $a<0$ e $b>a$ con $c>0$
$b>0>a$ con $c>0$
ma non riesco ad arrivare ad una dimostrazione delle radici reali...
qualche suggerimento?
Risposte
"clever":
allora ho pensato che per venire $-c$
$ax^4<0$ però $x^4>0$
Non puoi dire questo, non farti ingannare.
$-c$ significa $-c$ e basta, non è un valore negativo a priori solo perché vedi il "meno".
Se ad esempio assegnassi $c=-1$, allora $-c$ varrebbe $1$...
Per l'esercizio, considera intanto che hai a che fare con un polinomio, quindi non hai problemi di punti di non continuità, non derivabilità: hai tutto quello che ti serve in sovrabbondanza.
A $-infty$ la funzione come è (segno)?
E a $+infty$?
Un suggerimento: sia $f(x) = ax^4 + bx + c$; quanti sono i punti stazionari di $f$? Supponi per assurdo che la tua equazione abbia almeno $3$ zeri, e allora applica Rolle.
Ricordando il teorema di Rolle, che dice che in una funzione, continua e derivabile in un intervallo, c'è un punto $c$ tale che
la derivata prima si annulli.
$f'(x)=4ax^3+b$
$4ax^3+b=0$
$x=-sqrt(b/(4a))$ che è la radice cubica.
quindi il punto $c$ per il teorema di rolle, sarebbe questo.
*Non capisco 'il suppurre per assurdo che l'equazione abbia 3 zeri''*
la derivata prima si annulli.
$f'(x)=4ax^3+b$
$4ax^3+b=0$
$x=-sqrt(b/(4a))$ che è la radice cubica.
quindi il punto $c$ per il teorema di rolle, sarebbe questo.
*Non capisco 'il suppurre per assurdo che l'equazione abbia 3 zeri''*
"clever":
Ricordando il teorema di Rolle, che dice che in una funzione, continua e derivabile in un intervallo, c'è un punto $c$ tale che la derivata prima si annulli.
No! Il teorema di Rolle dice che se una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato, derivabile al suo interno, assume lo stesso valore negli estremi allora esiste almeno un punto interno all'intervallo in cui la derivata si annulla.
Capito, e cosa c'entra con quello che devo fare io? Io non ho un intervallo chiuso e limitato per cui posso fare
$f(a)=f(b)$ per l'intervallo $[a,b]$
$f(a)=f(b)$ per l'intervallo $[a,b]$
Sia $f(x) = a x^4 + bx +c$ definita su $RR$. ($a != 0$)
$f'(x) = 4a x^3 + b$. Si vede che esiste uno e un solo $xi \in RR$ tale che $f'(xi)=0$.
Ora supponiamo per assurdo che esistano almeno tre zeri distinti di $f$: $x_1 < x_2 < x_3$.
$f(x_1)=f(x_2)=0$ allora per il teorema di Rolle applicato a $f$ nell'intervallo $[x_1,x_2]$ esiste $xi_1 in (x_1,x_2)$ tale che $f'(xi_1)=0$.
$f(x_2)=f(x_3)=0$ allora per il teorema di Rolle applicato a $f$ nell'intervallo $[x_2,x_3]$ esiste $xi_2 in (x_2,x_3)$ tale che $f'(xi_2)=0$.
Quindi ho trovato due punti $xi_1,xi_2$ in cui si annulla $f'$, ma essi sono distinti perché $x_1 < xi_1 < x_2 < xi_2 < x_3$. Ma ciò è assurdo perché la $f'$ si annulla in un unico punto.
Quindi è assurdo supporre che $f$ abbia più almeno tre zeri; quindi $f$ ha al più due zeri.
$f'(x) = 4a x^3 + b$. Si vede che esiste uno e un solo $xi \in RR$ tale che $f'(xi)=0$.
Ora supponiamo per assurdo che esistano almeno tre zeri distinti di $f$: $x_1 < x_2 < x_3$.
$f(x_1)=f(x_2)=0$ allora per il teorema di Rolle applicato a $f$ nell'intervallo $[x_1,x_2]$ esiste $xi_1 in (x_1,x_2)$ tale che $f'(xi_1)=0$.
$f(x_2)=f(x_3)=0$ allora per il teorema di Rolle applicato a $f$ nell'intervallo $[x_2,x_3]$ esiste $xi_2 in (x_2,x_3)$ tale che $f'(xi_2)=0$.
Quindi ho trovato due punti $xi_1,xi_2$ in cui si annulla $f'$, ma essi sono distinti perché $x_1 < xi_1 < x_2 < xi_2 < x_3$. Ma ciò è assurdo perché la $f'$ si annulla in un unico punto.
Quindi è assurdo supporre che $f$ abbia più almeno tre zeri; quindi $f$ ha al più due zeri.
Si può fare anche così:
$x^4 = - b/ax - c/a$, $a != 0$ ( se fosse $a = 0$, l'equazione diventerebbe di primo grado )
$f(x) = x^4$ ha il grafico simile ad una parabola (se mi è concesso).
$h(x) = - b/ax - c/a$ è una famiglia di rette.
Non resta che dimostrare che una retta non può intersecare la curva $x^4$ più di due volte.
$x^4 = - b/ax - c/a$, $a != 0$ ( se fosse $a = 0$, l'equazione diventerebbe di primo grado )
$f(x) = x^4$ ha il grafico simile ad una parabola (se mi è concesso).
$h(x) = - b/ax - c/a$ è una famiglia di rette.
Non resta che dimostrare che una retta non può intersecare la curva $x^4$ più di due volte.
Grazie per l'esauriente dimostrazione. (Non ci avrei mai pensato all'uso di Rolle, anche perchè stranamente questo esercizio è riportato nel capitolo 'studio di funzione').
"clever":
Grazie per l'esauriente dimostrazione. (Non ci avrei mai pensato all'uso di Rolle, anche perchè stranamente questo esercizio è riportato nel capitolo 'studio di funzione').
Te ne scrivo io un'altra, forse più adatta al capitolo in cui è posta.
Supponiamo per assurdo che l'equazione $ax^4 + bx + c = 0$ abbia tre radici reali, $xi_1 < xi_2 < xi_3$ (*).
Lemma: Se $f(x)$ è concava in un intervallo $I$, anche ogni funzione del tipo $g(x) = f(x) + mx + q $ è concava in I. Analogamente se $f(x)$ è convessa.
La funzione $g(x) = ax^4 + bx + c$ è una funzione concava, se $a > 0$, ed è una funzione convessa, se $a < 0$. Supponiamo che sia concava.
Consideriamo l'intervallo $I = ]xi_1, xi_3[$. In virtù della concavità di $g$, si ha che $AA x in I$
$g(x) > (f(xi_3) - f(xi_1))/(xi_3 - xi_1) * ( x - xi_1 ) + f(xi_1)$
Quindi (*) , essendo $f(xi_1) = f(xi_3) = 0$, si ha:
$AA x in I$, $g(x) > 0 $. Il che contraddice l'ipotesi che esista $xi_2 in I$ tale che $f(xi_2) = 0$.
Credo vada bene.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo