Dimostrare che una data espressione è un polinomio
Salve a tutti.
Studiando per un esame mi è uscita la seguente questione. Siano $A$ una matrice a coefficienti reali di ordine $n$ strettamente triangolare inferiore, cioè triangolare inferiore con la diagonale principale a elementi nulli, $b\inRR^n$, $e=(1,1,...1)^T\inRR^n$ e $I$ la matrice identità di ordine $n$. Devo dimostrare che $p(x)=1+xb^T(I-xA)^{-1}e\in RR[x]$. (*)
Ho ragionato così: abbiamo che $(I-xA)^{-1}=sum_{i=0}^infty (xA)^{i}$. Per ipotesi, $A$ è strettamente triangolare inferiore, quindi si ha che $A^n=0_{RR^{n times n}}$. Quindi $p(x)=1+xb^T(I+xA+...+xA^{n-1})e$, da cui evidentemente $p(x)\in RR[x]$. Vi pare che quadri, questo ragionamento?
P.S.: spero di aver postato nella sezione corretta.
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(*) sto ovviamente assumento che $I-xA$ sia invertibile.
Studiando per un esame mi è uscita la seguente questione. Siano $A$ una matrice a coefficienti reali di ordine $n$ strettamente triangolare inferiore, cioè triangolare inferiore con la diagonale principale a elementi nulli, $b\inRR^n$, $e=(1,1,...1)^T\inRR^n$ e $I$ la matrice identità di ordine $n$. Devo dimostrare che $p(x)=1+xb^T(I-xA)^{-1}e\in RR[x]$. (*)
Ho ragionato così: abbiamo che $(I-xA)^{-1}=sum_{i=0}^infty (xA)^{i}$. Per ipotesi, $A$ è strettamente triangolare inferiore, quindi si ha che $A^n=0_{RR^{n times n}}$. Quindi $p(x)=1+xb^T(I+xA+...+xA^{n-1})e$, da cui evidentemente $p(x)\in RR[x]$. Vi pare che quadri, questo ragionamento?
P.S.: spero di aver postato nella sezione corretta.
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(*) sto ovviamente assumento che $I-xA$ sia invertibile.
Risposte
Mi pare vada bene. Io avrei ragionato più semplicemente così: siccome $A$ è strettamente triangolare si ha $\det(I-xA)=1$. Ne segue che la matrice $(I-xA)^{-1}$ ha entrate che sono polinomi in $x$, che conclude mi pare.
Grazie mille per la dritta 
Posto qui per non aprire un nuovo 3d.
Data l'espressione $(I-A)^{-1}=\sum_{i=0}^infty A^i$, sotto quali ipotesi per $A$ essa è valida? Già nel caso scalare, che diventa la ben nota $1/(1-x)=1+x+x^2+...$ si ha la convergenza se e solo se $|x|<1$. Ho provato a guardare sia su libri sia in Rete, ma non ho trovato niente. Potreste aiutarmi?
Data l'espressione $(I-A)^{-1}=\sum_{i=0}^infty A^i$, sotto quali ipotesi per $A$ essa è valida? Già nel caso scalare, che diventa la ben nota $1/(1-x)=1+x+x^2+...$ si ha la convergenza se e solo se $|x|<1$. Ho provato a guardare sia su libri sia in Rete, ma non ho trovato niente. Potreste aiutarmi?
L'ipotesi è che $||A|| <1$. Cerca "Neumann series".
Ecco, vedi qua per esempio:
http://en.wikipedia.org/wiki/Neumann_series
Ecco, vedi qua per esempio:
http://en.wikipedia.org/wiki/Neumann_series
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