Dimostrare che un limite non esiste
Ciao a tutti 
Devo dimostrare che
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 + y^2}{x}\) non esiste.
Ho provato ad applicare la tecnica delle restrizioni, ma non mi viene:
1) \(\displaystyle y=x \)
\(\displaystyle \Rightarrow f(x,x) = \frac{x^2 +x^2}{x} \) con limite = 0
2) \(\displaystyle y=-x \)
\(\displaystyle \Rightarrow f(x-x) = \frac{x^2 +x^2}{x} \) con limite = 0
Devo dimostrare che
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 + y^2}{x}\) non esiste.
Ho provato ad applicare la tecnica delle restrizioni, ma non mi viene:
1) \(\displaystyle y=x \)
\(\displaystyle \Rightarrow f(x,x) = \frac{x^2 +x^2}{x} \) con limite = 0
2) \(\displaystyle y=-x \)
\(\displaystyle \Rightarrow f(x-x) = \frac{x^2 +x^2}{x} \) con limite = 0
Risposte
In effetti, anche restringendoti a tutte le rette passanti per l'origine non si riesce a dimostrare un bel niente in questo modo...Prova con le coordinate polari! Trovi
\[f(\rho,\theta)=\dfrac{\rho^2}{\rho\cos\theta}=\dfrac{\rho}{\cos\theta}\]
e vedi che per $\theta=pi/2$, ad esempio.......
\[f(\rho,\theta)=\dfrac{\rho^2}{\rho\cos\theta}=\dfrac{\rho}{\cos\theta}\]
e vedi che per $\theta=pi/2$, ad esempio.......
"Plepp":
...\[f(\rho,\theta)=\dfrac{\rho^2}{\rho\cos\theta}=\dfrac{\rho}{\cos\theta}\]
e vedi che per $\theta=pi/2$, ad esempio.......
...la funzione non è definita...
Essi più precisamente: "...e vedi che in un intorno di $\pi/2$...."
più precisamente: "...e vedi che in un intorno di $\pi/2$...."
...mmh, non so se io dico giusto.
Trovo che
\(\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow 0} f(\rho, \theta) = \lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho}{\cos{\theta}} = 0 \),
ma ho che \(\displaystyle \cos{\frac{\pi}{2}} = 0 \).
Questo vorrebbe dire che poiché la funzione \(\displaystyle f(\rho,\theta) \)non è definita per ogni \(\displaystyle \theta \) il limite non esiste?
Trovo che
\(\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow 0} f(\rho, \theta) = \lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho}{\cos{\theta}} = 0 \),
ma ho che \(\displaystyle \cos{\frac{\pi}{2}} = 0 \).
Questo vorrebbe dire che poiché la funzione \(\displaystyle f(\rho,\theta) \)non è definita per ogni \(\displaystyle \theta \) il limite non esiste?
Si anche se devi far variare $theta$ con $ro$ perchè appunto come dicevi te sule rette quel limite esiste e viene 0.
@Brancaleone: secondo me non ti conviene andare in polari ma trova due funzioni di x dove i imiti sono diversi.
Una è $y=x$ da cui ottieni $(x^2+x^2)/x=2x$ che converge a 0 e l'altra...
@Brancaleone: secondo me non ti conviene andare in polari ma trova due funzioni di x dove i imiti sono diversi.
Una è $y=x$ da cui ottieni $(x^2+x^2)/x=2x$ che converge a 0 e l'altra...
"Brancaleone":
Questo vorrebbe dire che poiché la funzione \(\displaystyle f(\rho,\theta) \)non è definita per ogni \(\displaystyle \theta \) il limite non esiste?
In generale se il valore del limite dipende da $\theta$ (ossia dalla direzione secondo la quale ti avvicini al punto), allora questo non esiste.
Esempio banale. Hai $f(\rho,\theta)=\rho +\sin\theta$. Se $\rho\to 0$, ti rimane $\sin\theta$ a rompere le scatole...E dal momento che per diversi valori di $\theta$ hai diversi valori del limite $L$, allora $L$ non esiste.
@ Plepp: Ah ok Inoltre in questo caso non potrei neanche maggiorare, perché \(\displaystyle \frac{\rho}{\cos \theta} \le \rho\) non è vero.
@DajeForte: Sì, l'esercizio mi chiede appunto di verificarlo con il metodo delle restrizioni, anche se non becco la retta/curva giusta...
Inoltre in questo caso non potrei neanche maggiorare, perché \(\displaystyle \frac{\rho}{\cos \theta} \le \rho\) non è vero.@DajeForte: Sì, l'esercizio mi chiede appunto di verificarlo con il metodo delle restrizioni, anche se non becco la retta/curva giusta...
Le rette non vanno bene. Infatti per ogni retta passante per l'origine (che non sia $x=0$ che non è nel dominio) il limite ti viene 0. Allora proviamo con qualche curva non retta. Prova $y=x^2$, oppure $y=x^3$, prova con alcune curve che conosci.
Ah forse l'ho trovata!
Se impongo
\(\displaystyle y = \sqrt{x} \)
ho che
\(\displaystyle \Rightarrow f(x,\sqrt{x}) = \frac{x^2 +x}{x} = \frac{x (x +1)}{x} = x + 1 \)
il cui limite è 1.
Avendo così due limiti diversi, avrei verificato la non esistenza del limite.
Se impongo
\(\displaystyle y = \sqrt{x} \)
ho che
\(\displaystyle \Rightarrow f(x,\sqrt{x}) = \frac{x^2 +x}{x} = \frac{x (x +1)}{x} = x + 1 \)
il cui limite è 1.
Avendo così due limiti diversi, avrei verificato la non esistenza del limite.
Per quello appunto ti ho detto $x^2$ e $x^3$...
Grazie mille per l'input
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