Dimostrare che un insieme è chiuso e limitato
Salve a tutti, devo determinare l'insieme $A = {a in RR : M_a$ è una varietà compatta $}$ con
${M_a = (x,y) in RR^2 : e^x + y^2 =a}$. Adesso, io so che perchè un insieme in $RR^2$ sia compatto esso deve essere chiuso e limitato, come faccio a dimostrarlo?
Ho provato ponendo $g_a(x,y) _= e^x + y^2-a $ e calcolando $lim_((x,y)->oo)g_a(x,y)$ ma mi risulta $+oo$
Scusatemi ma al momento non mi viene in mente nulla.
Grazie in anticipo
${M_a = (x,y) in RR^2 : e^x + y^2 =a}$. Adesso, io so che perchè un insieme in $RR^2$ sia compatto esso deve essere chiuso e limitato, come faccio a dimostrarlo?
Ho provato ponendo $g_a(x,y) _= e^x + y^2-a $ e calcolando $lim_((x,y)->oo)g_a(x,y)$ ma mi risulta $+oo$
Scusatemi ma al momento non mi viene in mente nulla.
Grazie in anticipo
Risposte
Gli insiemi $M_a$ sono curve del piano (puoi scriverli ad esempio come $x=\log(a-y^2)$) al variare di $a$. Sapresti dire quando una tale curva risulta chiusa? E quando risulta limitata?
"ciampax":
Gli insiemi $M_a$ sono curve del piano (puoi scriverli ad esempio come $x=\log(a-y^2)$) al variare di $a$. Sapresti dire quando una tale curva risulta chiusa? E quando risulta limitata?
no
L'equazione che descrive \(M_a\) è:
\[
e^x = a-y^2\; ;
\]
tale equazione ha soluzione solo se \(a-y^2>0\) (è un'equazione esponenziale!), cioé solo se:
\[
\begin{cases}
a>0\\
-\sqrt{a}
\]
ed, in tal caso, la soluzione dell'equazione è unica ed è \(x=\ln \left( a-y^2\right)\). Quindi la varietà \(M_a\) è:
\[
M_a = \begin{cases} \varnothing &\text{, se } a\leq 0\\
\text{ curva di equazione } x=\ln \left( a-y^2\right) &\text{, se } a>0\; ,
\end{cases}
\]
perciò \(M_a\) è compatta (perché vuota) certamente per \(a\leq 0\) e rimane da studiare solo il caso \(a>0\). Per \(a>0\), la \(M_a\) è il grafico di una funzione continua di \(y\) in \(x\), in particolare della funzione:
\[
\begin{split}
f:]-\sqrt{a},\sqrt{a}[ &\to \mathbb{R}\\
y &\mapsto \ln (a-y^2)\; ;
\end{split}
\]
[asvg]xmin=-4; xmax=2; ymin=-3;ymax=3;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("sqrt(1-exp(x))",-6,0); plot("-sqrt(1-exp(x))",-6,0);[/asvg]
visto che il grafico di una funzione continua è chiuso (per definizione di continuità!), basta studiarsi la limitatezza del grafico; ma \(\lim_{y\to \sqrt{a}} f(y)=\cdots\), quindi...
\[
e^x = a-y^2\; ;
\]
tale equazione ha soluzione solo se \(a-y^2>0\) (è un'equazione esponenziale!), cioé solo se:
\[
\begin{cases}
a>0\\
-\sqrt{a}
\]
ed, in tal caso, la soluzione dell'equazione è unica ed è \(x=\ln \left( a-y^2\right)\). Quindi la varietà \(M_a\) è:
\[
M_a = \begin{cases} \varnothing &\text{, se } a\leq 0\\
\text{ curva di equazione } x=\ln \left( a-y^2\right) &\text{, se } a>0\; ,
\end{cases}
\]
perciò \(M_a\) è compatta (perché vuota) certamente per \(a\leq 0\) e rimane da studiare solo il caso \(a>0\). Per \(a>0\), la \(M_a\) è il grafico di una funzione continua di \(y\) in \(x\), in particolare della funzione:
\[
\begin{split}
f:]-\sqrt{a},\sqrt{a}[ &\to \mathbb{R}\\
y &\mapsto \ln (a-y^2)\; ;
\end{split}
\]
[asvg]xmin=-4; xmax=2; ymin=-3;ymax=3;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("sqrt(1-exp(x))",-6,0); plot("-sqrt(1-exp(x))",-6,0);[/asvg]
visto che il grafico di una funzione continua è chiuso (per definizione di continuità!), basta studiarsi la limitatezza del grafico; ma \(\lim_{y\to \sqrt{a}} f(y)=\cdots\), quindi...
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