Dimostrare che $ |sinx| <= |x| $
Ragazzi...come da titolo @.@ come si può dimostrare che $ |sinx| <= |x| $? Graciasss
Risposte
Mostriamo che $\sin x \leq x $ per $x \in [0,1]$, infatti se $x>1$ la tesi è banale.
Consideriamo la funzione $g(x):=\sin(x)-x$, chiaramente $g(1)<0$, supponiamo che esista $\xi \in (0,1)$ tale che $g(\xi)>0$, allora per il teorema dell'esistenza degli zeri esiste $a \in (\xi,1)$ tale che $g(a)=0$, anche $g(0)=0$ dal teorema di Rolle abbiamo che $g'(x_0)=\cos(x_0)-1=0$ per almeno un punto $\x_0 \in (0,a)$, ma questo è assurdo poiché $00$ per ogni $x \in (0,+\infty)$.
Consideriamo la funzione $g(x):=\sin(x)-x$, chiaramente $g(1)<0$, supponiamo che esista $\xi \in (0,1)$ tale che $g(\xi)>0$, allora per il teorema dell'esistenza degli zeri esiste $a \in (\xi,1)$ tale che $g(a)=0$, anche $g(0)=0$ dal teorema di Rolle abbiamo che $g'(x_0)=\cos(x_0)-1=0$ per almeno un punto $\x_0 \in (0,a)$, ma questo è assurdo poiché $0
Ti ringrazio molto... ma ammetto di avere parecchie difficoltà con questa dimostrazione, sopratutto dal teorema di Rolle in poi. Non è possibile una dimostrazione più elementare? Mi aiuterebbe moltissimo ^^ grazie ^^
se ti basta un metodo "grafico", se consideri l'arco da $-|x|$ a $|x|$ sulla circonferenza goniometrica, la corda sottesa "misura" $2|sinx|$, e la lunghezza della corda è minore di quella dell'arco (l'arco naturalmente è $2|x|$, perché stiamo parlando della misura in radianti...).
Grazie mille, credo di aver assimilato in gran parte ^^ Comunque non mi arrendo e torno a riflettere sulla dimostrazione astrusa 
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