Dimostrare che se la derivata esiste la funzione è continua.

[manuelita1992]

salve, mi sfugge l'ultimo passaggio di questo quesito:
Sia $f : [a, b] rarr R$ una funzione di variabile reale e sia $x0 in (a, b)$. Dare la definizione di
derivata della funzione $f$ nel punto $x0$ e dimostrare che se tale derivata esiste, la funzione e continua in $xo$
allora per la prima parte è
def:
data una funzione y=f(x) definita in [a;b], si chiama derivata della funzione, nel punto $X0$, interno all'intervallo, il limite se esiste ed è finito, per $hrarr0$ del rapporto incrementale di f relativo a "xo" per la definizione ci stiamo ma la seconda parte? non so come dimostrarlo,
grazie a chi risponderà!

[Noisemaker]

quando è che una funzione risulta continua in un punto $x_0\in [a,b]$ ?

vogliamo provare che un'assegnata funzione $f(x)$ derivabile in un punto $x_0$ è continua in $x_0,$ vale a dire

\[\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)\]

o equivalentemente

\[\lim_{h\to 0}{f(x_0+h)}=f(x_0)\]

Consideriamo l'uguaglianza per $h\ne 0\in\mathbb{R}$

\[f(x_0+h)=f(x_0)+f(x_0+h)-f(x_0)\]

Che riscriviamo nella forma

\[f(x_0+h)=f(x_0)+\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}(h)\]

Passiamo al limite per $h\to 0$ ad entrambi i membri:

\\[\lim_{h\to 0}{f(x_0+h)}=\lim_{h\to 0}{f(x_0)+\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}(h)}\]

Grazie all'algebra dei limiti possiamo spezzare il limite della somma nella somma dei limiti

\[\lim_{h\to 0}{f(x_0+h)}=\lim_{h\to 0}{f(x_0)}+\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}(h)}\]

Il primo limite a destra è il limite di una funzione costante. Il secondo limite lo riscriviamo come prodotto di due limiti

\[\lim_{h\to 0}{f(x_0+h)}=f(x_0)+\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\lim_{h\to 0}{h}\]

Essendo la funzione derivabile in $x_0,$ i limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistono finiti e coincidono. In particolare, esistono finiti

\[\lim_{h\to 0}{f(x_0+h)}=f(x_0)+c\cdot 0\]

e si conclude

\[\lim_{h\to 0}{f(x_0+h)}=f(x_0)\]

da cui la continuità della funzione nel punto $ x_0. $