Dimostrare che questa funzione e'/non e' integrabile.
Credo sia una variante di una classica funzione non integrabile:
f(x) =
1 quando $x \in Q \cap [1, 2]$
2 quando $x \notin Q \cap [1, 2]$
e' f integrabile in [1,2]?
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La mia versione dell'esercizio e' la seguente:
La funzione $f$ non e' integrabile nell'intervallo [1,2].
Dato che la somma di Riemann e' definita come: $\sum_{i=1}^n f(\hat X_i)(x_{i}-x_{i-1})$
dove: $[x_{i-1}, x_{i}]$ e' uno degli $n$ sotto-intervalli, $x_{i}-x_{i-1}$ e' la base del rettangolo e $\hat X_i$ e' un punto arbitrario in $[x_{i-1}, x_{i}]$, quindi $f(\hat X_i)$ e' l'altezza del rettangolo.
Una funzione e' integrabile secondo Riemann quando esiste un unico numero $I$ tale che: $ I = \lim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}f(\hat X_i)(x_{i}-x_{i-1})}$
per una scelta qualsiasi di $\hat X_i$ in $[x_{i-1}, x_{i}]$.
Quindi la scelta di $\hat X_i$ NON deve essere rilevante per il valore finale della somma.
Mostro che $f$ non e' integrabile in $[1,2]$ poiche' $I$ dipende dalla scelta di $\hat X_i$.
E' noto che $\mathbb{Q}$ e' denso in $\mathbb{R}$. Quindi in OGNI $[x_{i-1}, x_{i}]$ sotto-intervallo esistera' una $q \in \mathbb{Q}$ tale che: $x_{i-1} < q < x_{i}$.
Scelgo $\hat X_i \in [x_{i-1},x_{i}] \cap \mathbb{Q}, \forall i=1,...,n$, quindi:
$f(\hat X_i) = 2 \Rightarrow $
$\sum_{i=1}^{n} 2(x_{i}-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} 2(\frac{1}{n}) = 2$
quindi $\lim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}2(\frac{1}{n})} = 2.$
Ora scelgo $\hat X_i \in [x_{i-1},x_{i}] \setminus \mathbb{Q}, \forall i=1,...,n$, quindi:
$f(\hat X_i) = 1 \Rightarrow $
$\sum_{i=1}^{n} 1(x_{i}-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} 1(\frac{1}{n}) = 1$
quindi $\lim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}1(\frac{1}{n})} = 1.$
Ho mostrato come $I$ dipende dalla selezione di $\hat X_i$, quindi la funzione non e' integrabile secondo Riemann.
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Cosa ne pensate? Secondo voi ci sono errori o imprecisioni?
Grazie in anticipo.
f(x) =
1 quando $x \in Q \cap [1, 2]$
2 quando $x \notin Q \cap [1, 2]$
e' f integrabile in [1,2]?
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La mia versione dell'esercizio e' la seguente:
La funzione $f$ non e' integrabile nell'intervallo [1,2].
Dato che la somma di Riemann e' definita come: $\sum_{i=1}^n f(\hat X_i)(x_{i}-x_{i-1})$
dove: $[x_{i-1}, x_{i}]$ e' uno degli $n$ sotto-intervalli, $x_{i}-x_{i-1}$ e' la base del rettangolo e $\hat X_i$ e' un punto arbitrario in $[x_{i-1}, x_{i}]$, quindi $f(\hat X_i)$ e' l'altezza del rettangolo.
Una funzione e' integrabile secondo Riemann quando esiste un unico numero $I$ tale che: $ I = \lim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}f(\hat X_i)(x_{i}-x_{i-1})}$
per una scelta qualsiasi di $\hat X_i$ in $[x_{i-1}, x_{i}]$.
Quindi la scelta di $\hat X_i$ NON deve essere rilevante per il valore finale della somma.
Mostro che $f$ non e' integrabile in $[1,2]$ poiche' $I$ dipende dalla scelta di $\hat X_i$.
E' noto che $\mathbb{Q}$ e' denso in $\mathbb{R}$. Quindi in OGNI $[x_{i-1}, x_{i}]$ sotto-intervallo esistera' una $q \in \mathbb{Q}$ tale che: $x_{i-1} < q < x_{i}$.
Scelgo $\hat X_i \in [x_{i-1},x_{i}] \cap \mathbb{Q}, \forall i=1,...,n$, quindi:
$f(\hat X_i) = 2 \Rightarrow $
$\sum_{i=1}^{n} 2(x_{i}-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} 2(\frac{1}{n}) = 2$
quindi $\lim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}2(\frac{1}{n})} = 2.$
Ora scelgo $\hat X_i \in [x_{i-1},x_{i}] \setminus \mathbb{Q}, \forall i=1,...,n$, quindi:
$f(\hat X_i) = 1 \Rightarrow $
$\sum_{i=1}^{n} 1(x_{i}-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} 1(\frac{1}{n}) = 1$
quindi $\lim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}1(\frac{1}{n})} = 1.$
Ho mostrato come $I$ dipende dalla selezione di $\hat X_i$, quindi la funzione non e' integrabile secondo Riemann.
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Cosa ne pensate? Secondo voi ci sono errori o imprecisioni?
Grazie in anticipo.
Risposte
Tutto diventa più semplice se usi le somme integrali inferiori e superiori.
Oppure potresti notare che la tua funzione è una funzione di Dirichlet traslata a destra e verso l'alto.
Oppure potresti notare che la tua funzione è una funzione di Dirichlet traslata a destra e verso l'alto.
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