Dimostrare che l'$n$-esima derivata è nulla in un punto
Io ho questa funzione: $f: RR \to RR$, $f(x)=\int_o^x cos(t^2) dt$. Devo dimostrare in un primo momento che è di classe $C^\infty(RR, RR)$. Per farlo ho pensato di ricorrere al fatto che se una funzione è sviluppabile secondo Taylor, allora è di classe $C^\infty(RR, RR)$. Ho quindi sviluppato la funzione come:
$f(x)=\int_0^x cos(t^2) dt = \int_0^x \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/((2k)!) (t^2)^(2k) dt = \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/((2k)!) \int_0^x t^(4k) dt = \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/((2k)!) (x^(4k+1))/(4k+1) $
Essendo quindi sviluppabile in serie, allora $f\inC^\infty(RR, RR)$.
Quindi mi viene chiesto di dimostrare che $f^((4n))(0)=0$ $\forall n \in NN cup {0}$. La condizione è ovviamente verificata per $n=0$ ma non so come proseguire nel dimostrare che vale per ogni derivata di ordine $4n$-esimo. È corretto affermare che, essendo la funzione sviluppabile in serie di Taylor, allora la derivata $n$-esima della funzione è uguale alla derivata $n$-esima della serie?
$f(x)=\int_0^x cos(t^2) dt = \int_0^x \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/((2k)!) (t^2)^(2k) dt = \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/((2k)!) \int_0^x t^(4k) dt = \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/((2k)!) (x^(4k+1))/(4k+1) $
Essendo quindi sviluppabile in serie, allora $f\inC^\infty(RR, RR)$.
Quindi mi viene chiesto di dimostrare che $f^((4n))(0)=0$ $\forall n \in NN cup {0}$. La condizione è ovviamente verificata per $n=0$ ma non so come proseguire nel dimostrare che vale per ogni derivata di ordine $4n$-esimo. È corretto affermare che, essendo la funzione sviluppabile in serie di Taylor, allora la derivata $n$-esima della funzione è uguale alla derivata $n$-esima della serie?
Risposte
beh forse perchè hi $x^(4k+1}$???
quindi ti rimane sempre x quando derivi 4n-volte...
quindi ti rimane sempre x quando derivi 4n-volte...
"Injo":
È corretto affermare che, essendo la funzione sviluppabile in serie di Taylor, allora la derivata $n$-esima della funzione è uguale alla derivata $n$-esima della serie?
Questa è una delle proprietà più importanti delle serie di potenze. E' vero infatti questo teorema:
Sia $sum_{n=0}^inftya_nz^n$ una serie di potenze convergente nel disco di centro 0 e raggio $rho$. (Se consideri solo serie reali, sostituisci $x$ a $z$, "intervallo" a "disco" e continua a valere tutto). Allora anche la serie $sum_{n=1}^inftyna_nz^(n-1)$ (derivata termine a termine) converge nello stesso disco e converge alla derivata della prima serie. In altre parole, le serie di potenze si possono derivare termine a termine.
(Dimostrazione: applica il criterio di Cauchy-Hadamard alle due serie e ti accorgi che hanno lo stesso raggio di convergenza. Poi puoi scegliere se derivare termine a termine la prima serie o integrare termine a termine la seconda, a seconda dei teoremi che hai a disposizione).
In particolare, data la serie di potenze $sum_{n=0}^inftyc_n(z-z_0)^n$, la sua derivata $k$-esima in $z_0$ è esattamente $k!c_k$. Ma se questa è la serie di Taylor di una funzione $f$, allora abbiamo questa uguaglianza:
$sum_{n=0}^inftyc_n(z-z_0)^n=sum_{n=0}^infty[f^((n))(z_0)]/[n!](z-z_0)^n$.
Quindi i coefficienti $c_n$ non possono essere altro che $[f^((n))(z_0)]/[n!]$. Concludiamo che la derivata $k$-esima della serie è uguale alla derivata $k$-esima della funzione.
Grazie mille, ho capito.
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