Dimostrare che l'insieme è chiuso

[Sk_Anonymous]

Buongiorno a tutti ! Sto provando a risolvere questo esercizio di Analisi Funzionale,ma ho dei dubbi ! L'esercizio è il seguente : " Sia $ C [0,1] $ lo spazio di Banach delle funzioni continue $ u:[0,1] \rightarrow R $ con la norma del massimo e sia $ {u_n}_n \subset C [0,1] $ una successione di funzioni equicontinue.Sia $ K \subset[0,1] $ l'insieme $ K:={x \in [0,1] | {u_n(x)}_n \text { è di Cauchy} } $.Si dimostri che K è chiuso .

Allora: ${u_n}_n$ sono equicontinue,quindi $\forall \varepsilon_1 >0 \exists \delta>0 : $ per $ x,y \in [0,1] |x-y |< \delta \Rightarrow |u_n(x)-u_n(y)|< \varepsilon_1 $; inoltre le successioni numeriche in K sono di Cauchy cioè $\forall \varepsilon_2 >0 \exists N : $ per $ n,m >N |u_n(x)-u_m(x) |<\varepsilon_2 $: Per far vedere che K è chiuso devo dimostrare che $\lim_{n \to \infty}u_n (x)= u(x) \in K $ ?? o devo far vedere che anche $u(x) $ è di Cauchy ? Qualcuno me lo potrebbe spiegare perpiacere ? Grazie !!!

[Rigel1]

Prendi una successione $(x_j)\subset K$ tale che $x_j \to x$; devi far vedere che $x\in K$.
In altri termini, se le successioni numeriche $(u_n(x_j))_n$ sono di Cauchy (quindi convergenti, siamo in $\RR$) per ogni $j$, devi far vedere che anche la successione $(u_n(x))_n$ è di Cauchy.

[Sk_Anonymous]

Scusami ma io non capisco !Che le $ {u_n(x)}_n $ sono di Cauchy lo so dall'ipotesi,appartengono a K ! E poi non capisco perchè devo prendere $ x_j \in K $ !!!

[Rigel1]

Per definizione di $K$, la successione $(u_n(x))_n$ è di Cauchy se e solo se $x\in K$.
Se [tex]x\not\in K[/tex], tale successione non è di Cauchy (sempre per definizione di $K$).

[Sk_Anonymous]

Mi devi scusare ma non riesco veramente a capire....non capisco prorpio ${x_j} \in K $...io K lo intendo come l'insieme degli $ x\in [0,1] $ tali che lu successioni numeriche ${u_n(x)} $ sono di Cauchy ! Grazie e scusa...

[Rigel1]

Infatti, $K$ è un sottoinsieme di $[0,1]$. Un modo per dimostrare che $K$ è chiuso consiste nel far vedere che se $(x_j)$ è una successione in $K$, convergente a un certo $x\in [0,1]$, allora $x\in K$. E' proprio questo che ti ho proposto di dimostrare nel primo post.

[Sk_Anonymous]

Dunque vediamo se ho capito bene : per dimostrare che K è chiuso,devo far vedere che presa una successione in K essa converge ad un elemento di K e per come è stato definito K ,il limte stesso deve essere una successione di Cauchy ! Ora dall'ipotesi so che le $ u_n $ sono equicontinue e che gli elementi di K sono di appunto di Cauchy. Considero $ x_j \in K \Rightarrow u_n(x_j) $ è di Cauchy cioè fissato $ \varepsilon_1 >0 , \exists N_1 \text{tale che } |u_n(x_j) - u_m(x_j) |< \varepsilon $ per $ n,m >N_1 $ , perciò $ u_n(x_j) $ converge a $ u_n(x) $ ! Dimostro che $ u_n(x) $ è di Cauchy :
$ |u_(n_1)(x) - u_(n_2) (x) | <= | u_(n_1)(x) - u_(n_2)(x_j)| + | u_(n_1)(x_j) - u_(n_2)(x_j)| +| u_(n_1)(x_j) - u_(n_2)(x_)|$ e sfruttando anche l'equicontinuità delle $ u_n $ trovo che per un opportuno $ N $ e per $ x,y $ sufficientemente vicini anche le $ u_n(x) $ sono di Cauchy !

[Rigel1]

"marge45":
$ |u_(n_1)(x) - u_(n_2) (x) | <= | u_(n_1)(x) - u_(n_2)(x_j)| + | u_(n_1)(x_j) - u_(n_2)(x_j)| +| u_(n_1)(x_j) - u_(n_2)(x_)|$ e sfruttando anche l'equicontinuità delle $ u_n $ trovo che...

Devi usare l'equicontinuità (che ti permette le stime a indice $n$ fissato) e la convergenza delle successioni:
$ |u_n(x) - u_m(x)| \le |u_n(x) - u_n(x_N)| + |u_n(x_N) - u_m(x_N)| + |u_m(x_N) - u_m(x)|$.
Al solito, fissa $\epsilon > 0$, determina il $\delta$ dell'equicontinuità, trova $N\in\NN$ tale che $|x_N-x| < \delta$ etc etc etc

[Sk_Anonymous]

Hai ragione...grazie mille !
Potrei proporti qui lo svolgimento di un altro esercizio simile, ma che sfrutta gli operatori ,oppure devo scrivere un altro post ? Altrimenti non fa nulla,grazie comunque !

[Rigel1]

Meglio se apri un altro post con un titolo adeguato.