Dimostrare che la successione è decrescente

[Eneru2]

Ciao a tutti vorrei capire come faccio a dire che questa successione è decrescente:
\(\displaystyle a_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n+1} \)

Se una successione è decrescente significa che \(\displaystyle a_{n} \(\displaystyle \frac{a_{n}}{a_{n-1}}<1 \)
Dunque:
\(\displaystyle \frac{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n+1}}{\left ( 1+\frac{1}{n-1} \right )^{n}}=\frac{n+1}{n}\cdot \frac{\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{n}}{\left ( \frac{n}{n-1} \right )^{n}}=\frac{n+1}{n}\cdot \left (\frac{n^{2}-1}{n^{2}} \right )^{n}=\frac{n+1}{n}\cdot \left (1-\frac{1}{n^{2}} \right )^{n} \)
Ora io pensavo di usare la disuguaglianza di bernoulli e viene:
\(\displaystyle \frac{n+1}{n}\cdot \left (1-\frac{1}{n^{2}} \right )^{n}>\frac{n+1}{n}\cdot \left (1-\frac{1}{n} \right )=1-\frac{1}{n^{2}}<1 \)
Però a questo punto non capisco se risulta:
\(\displaystyle 1-\frac{1}{n^{2}}<\frac{n+1}{n}\cdot \left (1-\frac{1}{n^{2}} \right )^{n}<1 \)
Oppure:
\(\displaystyle 1-\frac{1}{n^{2}}<1<\frac{n+1}{n}\cdot \left (1-\frac{1}{n^{2}} \right )^{n} \)

[Eneru2]

Please