Dimostrare che la radice di 2 ammette una soluzione unica

[tenebrikko]

salve a tutti! ho il seguente dubbio: devo dimostrare che la $sqrt2$ ha una sola soluzione negli $RR$ positivi
comincio dicendo che $0<\alpha<\beta$ e che $\alpha^2 = 2 $ e $\beta^2 = 2$
percui $2= \alpha^2 < \alpha $ 3 $2= \beta^2> \beta$ quindi ottentgo $2<2$ che è assurdo quindi la soluzione è unica.
questo è ciò che ho trovato negli appunti.. ma non capisco su che basi dico che $\alpha^2 < \alpha$ è giusto come ragionamento? grazie!

[ciampax]

Non capisco perché dovrebbe essere [tex]$\alpha^2<\alpha$[/tex]: forse hai dimenticato, come ipotesi, che [tex]$0<\alpha<1<\beta$[/tex]? E' l'unica possibilità.

[gugo82]

"tenebrikko":devo dimostrare che la $sqrt2$ ha una sola soluzione negli $RR$ positivi

Scusa, ma qual è il senso di questa frase?

[tenebrikko]

io ho copiato dagli appunti e appunto non mi torna! sarà come dici tu ciampax grazie comunque non ha sensoo ma nel titolo non ci stava una frase più grande e ho continuato allo stesso modo anche nella descrizione

[ciampax]

Vabbé.... ma quindi cosa volevi dire?

[tenebrikko]

volevo sapere se c'era un senso logico o comunque un motivo per cui quelle disugualianze abbiano senso! è giusto dimostrare così che esiste solo un numero che elevato alla seconda mi dia 2?

[ciampax]

Dunque, tu vuoi ragionare per assurdo, e quindi dici: supponiamo ci siano due valori [tex]$\alpha,\beta$[/tex] tali che [tex]$\alpha^2=2,\ \beta^2=2,\ 0<\alpha<\beta$[/tex] e fino a qui sono d'accordo. ma chi ti autorizza a dire (assumere) che [tex]$0<\alpha<1<\beta$[/tex]? Non mi pare che, a priori, si possa fare una tale scelta (visto che, obbiettivamente, non sai dove stanno i valori scelti). Io direi però che se [tex]$\alpha<\beta$[/tex] e sono entrambi positivi, allora banalmente [tex]$0<\alpha^2<\beta^2$[/tex] e quindi [tex]$2=\alpha^2<\beta^2=2\ \Rightarrow\ 2<2$[/tex] e questo mi pare assurdo.