Dimostrare che f(x) è iniettiva
Ciao ragazzi. La consegna di un esercizio chiede di dimostrare che $x^3+x-a=0$ ha una e una sola soluzione $\AAa\in\mathbb(R)$.
Allora, dire che ha almeno una soluzione è semplice. Poiché $f$ è continua e
$ lim_(x\to+\infty)x^3+x-a=+\infty $
$ lim_(x\to-\infty)x^3+x-a=-\infty $
allora $f(x)$ ha almeno una soluzione.
Per assicurare una e una sola soluzione dovrei dimostrare la stretta monotonia (o equivalentemente la sua iniettività, giusto?) di $f$. Tuttavia non so proprio come fare. Qualcuno potrebbe illuminarmi?
Grazie.
Allora, dire che ha almeno una soluzione è semplice. Poiché $f$ è continua e
$ lim_(x\to+\infty)x^3+x-a=+\infty $
$ lim_(x\to-\infty)x^3+x-a=-\infty $
allora $f(x)$ ha almeno una soluzione.
Per assicurare una e una sola soluzione dovrei dimostrare la stretta monotonia (o equivalentemente la sua iniettività, giusto?) di $f$. Tuttavia non so proprio come fare. Qualcuno potrebbe illuminarmi?
Grazie.
Risposte
Osserva che \(\{x\in\mathbb R\mid f'(x)=0\} = \varnothing\), sicché...
io ricondurrei lo studio a $x^3+x=a$: studia il grafico di $f(x)=x^3+x$ e vedi quante intersezioni hai con le rette $y=a in RR$
edit: vedo che mi hanno preceduto
edit: vedo che mi hanno preceduto
"killing_buddha":
Osserva che \(\{x\in\mathbb R\mid f'(x)=0\} = \varnothing\), sicché...
Non c'era un modo più complicato di dire che la derivata è positiva?
Ok ho capito. Grazie a tutti.
"killing_buddha":
Osserva che \(\{x\in\mathbb R\mid f'(x)=0\} = \varnothing\), sicché...
Sicché niente, se non sono soddisfatte altre proprietà.
"gugo82":
[quote="killing_buddha"]Osserva che \(\{x\in\mathbb R\mid f'(x)=0\} = \varnothing\), sicché...
Sicché niente, se non sono soddisfatte altre proprietà.
[/quote]Che deve trovare l'OP, infatti.
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