Dimostrare che...
Ciao a tutti! L'esercizio che dovrei risolvere é il seguente:
xlnx>= x-1
Il metodo che io conoscevo era quello grafico, ma la professoressa di analisi ci ha detto di svolgerlo in un altro modo, che utilizza le derivate, i punti di minimo ecc ( queste sono le parole che ci ha detto di sfuggita prima della fine della lezione).
Sinceramente non ho la più pallida idea di cosa intendesse e spero possiate aiutarmi nel "decifrarla" grazie.
xlnx>= x-1
Il metodo che io conoscevo era quello grafico, ma la professoressa di analisi ci ha detto di svolgerlo in un altro modo, che utilizza le derivate, i punti di minimo ecc ( queste sono le parole che ci ha detto di sfuggita prima della fine della lezione).
Sinceramente non ho la più pallida idea di cosa intendesse e spero possiate aiutarmi nel "decifrarla" grazie.
Risposte
L'idea è questa: mostrare che la disuguaglianza:
\[
x\ \ln x\geq x-1
\]
vale per ogni \(x>0\) equivale a mostrare che la cosiddetta funzione deficit tra i due membri della disuguaglianza, cioè la funzione:
\[
\Delta (x) := x\ \ln x -x+1\; ,
\]
è \(\geq 0\) quando \(x>0\).
Come si fa a provare che \(\Delta (x)\geq 0\)? Beh, basta fare uno studio di funzione "di massima".
Infatti, se riesci a far vedere che \(\Delta\) è dotata di minimo assoluto (ma basterebbe estremo inferiore) \(\delta \geq 0\) in \(]0,+\infty[\), allora è evidente che:
\[
\Delta (x)\geq \delta \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta (x)\geq 0
\]
per \(x>0\).
Perciò tutto sta a determinare se la tua funzione deficit \(\Delta\) ha minimo assoluto in \(]0,+\infty[\) e nel calcolare esplicitamente questo valore minimo, mostrando che esso è un numero non negativo.
Riesci a farlo?
Se consci gli strumenti del Calcolo Differenziale, credo proprio di sì. Prova!
P.S.: Queste cose le ho già dette diverse volte: ad esempio qui e qui.
\[
x\ \ln x\geq x-1
\]
vale per ogni \(x>0\) equivale a mostrare che la cosiddetta funzione deficit tra i due membri della disuguaglianza, cioè la funzione:
\[
\Delta (x) := x\ \ln x -x+1\; ,
\]
è \(\geq 0\) quando \(x>0\).
Come si fa a provare che \(\Delta (x)\geq 0\)? Beh, basta fare uno studio di funzione "di massima".
Infatti, se riesci a far vedere che \(\Delta\) è dotata di minimo assoluto (ma basterebbe estremo inferiore) \(\delta \geq 0\) in \(]0,+\infty[\), allora è evidente che:
\[
\Delta (x)\geq \delta \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta (x)\geq 0
\]
per \(x>0\).
Perciò tutto sta a determinare se la tua funzione deficit \(\Delta\) ha minimo assoluto in \(]0,+\infty[\) e nel calcolare esplicitamente questo valore minimo, mostrando che esso è un numero non negativo.
Riesci a farlo?
Se consci gli strumenti del Calcolo Differenziale, credo proprio di sì. Prova!
P.S.: Queste cose le ho già dette diverse volte: ad esempio qui e qui.
Ti ringrazio moltissimo per la risposta veloce e dettagliata! Ho capito perfettamente. Grazie ancora
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