Dimostrare che $0,\bar 9 = 1$
Ciao, mi trovo alle prede con la seguente dimostrazione: Dimostrare che $0,\bar 9 = 1$ e non mi sono molto chiari alcuni passaggi:
Il libro dice:
$0,\bar 9 := \text{sup} {0,99...9 :m\inNN}$ , dove $0,99...9 := sum_{n=1}^{m}9/10^n$.
Nota: sopra il $99...9$ ci anderbbe la parentesi graffa e sopra la parentesi graffa una label con scritto "$m$ cifre", ho provato ad usare
Dimostrazione:
Si indichi con $A$ l'insieme di cui si calcola l'estremo superiore in $0,\bar 9 := \text{sup}{0,99...\bar9 :m\inNN}$.
Quindi.. $A = {0,9; 0,99; 0,999 .... 0,\bar9}$.
Osservando la formula di Archimede, per $p=10$: $sum_{i=0}^{n}(p-1)/p^i = p-(1/p^n)$ otteniamo: $sum_{n=1}^{m}9/10^n = 1-1/10^m$
...
dato che sostituisco $p=10$ nella formula di archimede, non dovrebbe essere $sum_{n=1}^{m}9/10^n = 10-1/10^m$ ?
Il libro dice:
$0,\bar 9 := \text{sup} {0,99...9 :m\inNN}$ , dove $0,99...9 := sum_{n=1}^{m}9/10^n$.
Nota: sopra il $99...9$ ci anderbbe la parentesi graffa e sopra la parentesi graffa una label con scritto "$m$ cifre", ho provato ad usare
\overbrace{} ma non andava...Dimostrazione:
Si indichi con $A$ l'insieme di cui si calcola l'estremo superiore in $0,\bar 9 := \text{sup}{0,99...\bar9 :m\inNN}$.
Quindi.. $A = {0,9; 0,99; 0,999 .... 0,\bar9}$.
Osservando la formula di Archimede, per $p=10$: $sum_{i=0}^{n}(p-1)/p^i = p-(1/p^n)$ otteniamo: $sum_{n=1}^{m}9/10^n = 1-1/10^m$
...
dato che sostituisco $p=10$ nella formula di archimede, non dovrebbe essere $sum_{n=1}^{m}9/10^n = 10-1/10^m$ ?
Risposte
E così non va bene?Io conoscevo questa dimostrazione. Non va bene?
EDIT: Scusa, non avevo capito che volessi un chiarimento. Non conosco la formula di Archimede, ma la prima che hai scritto è sicuramente sbagliata, lo si nota subito. La seconda dovrebbe essere quella esatta.
PS. Curiosità: la tesi si ottiene mandando $m$ a $+\infty$?
Io conoscevo questa dimostrazione:
\(\displaystyle 0, \overline{9}=\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{9}{10^i}-9 \)
Adesso osserviamo meglio quella somma infinita:
\(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{10^i}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{10^i}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\left(\frac {1}{10}\right)^n}{1-\frac {1}{10}}=\frac{10}{9} \)
Sostituendo si ha \(\displaystyle 9\cdot \frac{10}{9}-9=1 \).
\(\displaystyle 0, \overline{9}=\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{9}{10^i}-9 \)
Adesso osserviamo meglio quella somma infinita:
\(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{10^i}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{10^i}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\left(\frac {1}{10}\right)^n}{1-\frac {1}{10}}=\frac{10}{9} \)
Sostituendo si ha \(\displaystyle 9\cdot \frac{10}{9}-9=1 \).
Io sapevo la formuletta che ti insegnano in seconda media:
$0,999999....= \frac{9-0}{9} =1$...
$0,999999....= \frac{9-0}{9} =1$...
Curiosando curiosando,
è saltata fuori quest'occasione troppo ghiotta per un ricordo,nitidissimo ma lontano nel tempo
(un pò prima che Silviuccio,beato lui,"scendesse" in Politica..),
del mitico Prof. Filippo Chiarenza
(andavo ad Ingegneria apposta per non perdermi le sue chicche,che distribuiva con generosità e grande spirito didattico,
quando gli orari di Analisi I nella mia Facoltà non erano sovrapposti ai suoi!!):
sapendo che,se due numeri reali sono diversi,tra essi ve ne sono infiniti(estremi esclusi,chiaro..),
mi costruisci un numero $x in(0.overline(9),1)$
?
Saluti dal web.
è saltata fuori quest'occasione troppo ghiotta per un ricordo,nitidissimo ma lontano nel tempo
(un pò prima che Silviuccio,beato lui,"scendesse" in Politica..),
del mitico Prof. Filippo Chiarenza
(andavo ad Ingegneria apposta per non perdermi le sue chicche,che distribuiva con generosità e grande spirito didattico,
quando gli orari di Analisi I nella mia Facoltà non erano sovrapposti ai suoi!!):
sapendo che,se due numeri reali sono diversi,tra essi ve ne sono infiniti(estremi esclusi,chiaro..),
mi costruisci un numero $x in(0.overline(9),1)$
?Saluti dal web.
Sia \(\displaystyle x = 9\sum_{i=1}^{\infty} 10^{-i} \) e segniamo con \(\displaystyle x_j = 9\sum_{i=1}^{j} 10^{-i} \) la $j$-esima somma parziale. Senza dubbio si ha \(\displaystyle x\le 1 \) in quanto \(\displaystyle x_j\le 1 \) per ogni \(\displaystyle j \). Supponiamo per assurdo che si abbia \(\displaystyle x<1 \) allora esiste un \(\displaystyle \varepsilon>0 \) tale che \(\displaystyle x < 1-\varepsilon \) per la densità di \(\displaystyle \mathbb{R} \). Siccome \(\displaystyle \lim_{i\to \infty} 10^{-i} = 0\) allora esiste un \(\displaystyle N\in \mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle \varepsilon > 10^N \) ma allora \(\displaystyle x < 1-\varepsilon < 1 - 10^{N} = x_N < x \) e quindi l'assurdo.
Questo è in pratica quello che penso intendesse theras.
Questo è in pratica quello che penso intendesse theras.
Oppure, sfruttando il fatto che \(\displaystyle \frac{1}{3} = 0.\bar{3}\), \[ 1 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 3\cdot 0.\bar{3}= 0.\bar{9}\]
Certo Vict:
così come è sicuro che,
se il compianto Prof Chiarenza l'avesse spiegato così alla seconda Lezione di Analisi I di quel corso d'ing. Elettronica,
si sarebbe creato il vuoto di studenti attorno a lui ..
A questo punto m'hai fatto però venire un dubbio:
parlavo di recente di lui con un suo allievo che,
pur mandato verso altri lidi dalla concretizzazione lavorativa della sua Laurea,
ha conservato e coltivato negli anni un "pallino" abbastanza ricco ed interessante per la Matematica,
e quasi quasi mi vien da chiedergli se,una volta che ha reputato sufficiente la maturità dei suoi studenti,
il buon Filippo abbia formalizzato quell'idea intuitiva come hai,egregiamente,fatto tu!
Saluti dal web.
P.S.
Il Prof. trovò questo metodo per far luce sulla definizione d'uguaglianza "troppo forzata ed incomprensibile" sulla quale molti studenti continuavano ad insistere:
era veramente un grande,dal punto di vista didattico
(solo questo posso giudicare,e sul resto m'astengo limitandomi ad invitarti,se vorrai,a documentarti sui suoi lavori..),
e la sua prematura scomparsa,avvenuta un paio d'anni dopo quell'illuminante lezione,
è stata davvero la perdita d'un Uomo che,per il pò che l'ho conosciuto,lo era quanto l'Insegnante!
così come è sicuro che,
se il compianto Prof Chiarenza l'avesse spiegato così alla seconda Lezione di Analisi I di quel corso d'ing. Elettronica,
si sarebbe creato il vuoto di studenti attorno a lui
..A questo punto m'hai fatto però venire un dubbio:
parlavo di recente di lui con un suo allievo che,
pur mandato verso altri lidi dalla concretizzazione lavorativa della sua Laurea,
ha conservato e coltivato negli anni un "pallino" abbastanza ricco ed interessante per la Matematica,
e quasi quasi mi vien da chiedergli se,una volta che ha reputato sufficiente la maturità dei suoi studenti,
il buon Filippo abbia formalizzato quell'idea intuitiva come hai,egregiamente,fatto tu!
Saluti dal web.
P.S.
Il Prof. trovò questo metodo per far luce sulla definizione d'uguaglianza "troppo forzata ed incomprensibile" sulla quale molti studenti continuavano ad insistere:
era veramente un grande,dal punto di vista didattico
(solo questo posso giudicare,e sul resto m'astengo limitandomi ad invitarti,se vorrai,a documentarti sui suoi lavori..),
e la sua prematura scomparsa,avvenuta un paio d'anni dopo quell'illuminante lezione,
è stata davvero la perdita d'un Uomo che,per il pò che l'ho conosciuto,lo era quanto l'Insegnante!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo