DIMOSTR. ${X_n}$ ha lim finito $\alpha$ sss ${X_n-\alpha}=0$
Ciao a tutti, dovrei dimostrare la proprieta' sotto e non sono sicuro di aver fatto bene. Vi illustro i miei ragionamenti:
${X_n}_(n in NN)$ ha lim finito $\alpha$ se e solo se ${X_n-\alpha}=0$.
Io sono partito dalla definizione di infinitesimalita' (spero sia lo spelling giusto):
${x_n}_(n in NN)$ è infinitesima se $lim_(n\to \infty) {x_n} = 0$. Cioè: $AA \epsilon >0, EE \bar(n) : |x_n|<\epsilon AAn in NN_(\bar(n))$
e ho detto: se ${x_n}_(n in NN)$ è infinitesima allora per forza di cose: $AA \epsilon >0, EE \bar(n) : |x_n|<\epsilon AAn in NN_(\bar(n))$ ma
questo significa che ${x_n}_(n in NN)$ ha una coda in un intervallo centrato in un punto $c +-\epsilon$. Ora vedo che questo non è altri che l definizione di limite che dice:
$lim_(n\to \infty) x_n :=$ l'elemento $c in \bar(RR)$ tale che la successione ${x_n}_(n in NN)$ sia definitivamente in ogni intervallo centrato in $c$.
Puo' andare così?
grazie
${X_n}_(n in NN)$ ha lim finito $\alpha$ se e solo se ${X_n-\alpha}=0$.
Io sono partito dalla definizione di infinitesimalita' (spero sia lo spelling giusto):
${x_n}_(n in NN)$ è infinitesima se $lim_(n\to \infty) {x_n} = 0$. Cioè: $AA \epsilon >0, EE \bar(n) : |x_n|<\epsilon AAn in NN_(\bar(n))$
e ho detto: se ${x_n}_(n in NN)$ è infinitesima allora per forza di cose: $AA \epsilon >0, EE \bar(n) : |x_n|<\epsilon AAn in NN_(\bar(n))$ ma
questo significa che ${x_n}_(n in NN)$ ha una coda in un intervallo centrato in un punto $c +-\epsilon$. Ora vedo che questo non è altri che l definizione di limite che dice:
$lim_(n\to \infty) x_n :=$ l'elemento $c in \bar(RR)$ tale che la successione ${x_n}_(n in NN)$ sia definitivamente in ogni intervallo centrato in $c$.
Puo' andare così?
grazie
Risposte
Fai tanti giri di parole per affermare una cosa che viene subito usando la definizione di limite di successione: $X_n\to a$ se e solo se $Y_n:=X_n-a \to 0$.
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