Dimostarzione teorema serie di taylor

[Jack871]

Ciao
ho qualche problema a comprendere la dimostrazione del teorema sulla serie di Taylor che è si trova sul mio libro, vi riporto sia il teorema che la dimostrazione:


TEOREMA

Sia $f(z)$ olomorfa in $\Omega \cup \Gamma$ ($\Gamma$ frontiera di $\Omega$). Sia $z_0 \in \Omega$ e $U_\delta(z_0)$ l'interno di un cerchio di raggio $\delta$ e centro $z_0$ contenuto in $\Omega$. Allora $f(z)$ può essere espressa nella forma:

$f(z) = f(z_0) + f^{\prime}(z_0)(z-z_0) + \frac{f^{''}(z_0)}{2!}(z-z_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n + ... = \sum_{n=0}^{+infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$

Questa serie di potenze si chiama serie di Taylor di f centrata in $z_0$ e converge per $z \in U_\delta(z_0)$.

DIMOSTARZIONE

Partiamo dalla formula di Cauchy

$f(z) = \frac{1}{2 \pi j} \int_\Gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z} d \xi$ (1)

con

$z \in U_\delta(z_0)$

e quindi con $\xi \in \Gamma$:

$|\xi - z_0| >= \delta > |z - z_0|$

da cui:

$\frac{1}{\xi - z} = \frac{1}{(\xi - z_0) - (z - z_0)} = \frac{1}{(\xi - z_0)(1 - \frac{z - z_0}{\xi - z_0})}$ (2)

ora:

$|\frac{z - z_0}{\xi - z_0}| <= \frac{|z - z_0|}{\delta} = k < 1$. (3)

Si può perciò considerare il termine:

$\frac{1}{(\xi - z_0)(1 - \frac{z - z_0}{\xi - z_0})}$

dell'espressione (2) come somma di una serie geometrica di ragione:

$\frac{z - z_0}{\xi - z_0}$

e quindi l'espressione (2) diviene:

$\frac{1}{\xi - z} = \frac{1}{(\xi - z_0)} \sum_{n=0}^{\+infty} (\frac{z-z_0}{\xi - z_0})^n = \sum_{n=0}^{\+infty} \frac{(z-z_0)^n}{(\xi - z_0)^{n+1}}$ (4)

che converge uniformemente per $\xi \in \Gamma$. Ponendo ora l'espressione (4) nella formula (1), si ha:

$f(z) = \frac{1}{2 \pi j} \int_\Gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z} d \xi = \frac{1}{2 \pi j} \int_\Gamma f(\xi) \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_0)^n}{(\xi - z_0)^{n+1}} d \xi$, (5)

ora, poiché $\xi \in \Gamma$ e $f(\xi)$ è continua su $\Gamma$, si ha:

$(\frac{f(\xi)}{\xi - z_0}) <= M$,

che insieme alla disuguaglianza (3) fornisce:

$|f(\xi) \frac{(z-z_0)^n}{(\xi - z_0)^{n+1}}| <= Mk^n$

con $k<1$. Essendo la serie a termini positivi

$\sum_{n = 0}^{+\infty} Mk^n$

convergente, per il criterio di Weierstrass ne segue la convergenza uniforme dell'integrando della (5) per $\xi \in \Gamma$. Si può quindi applicare il teorema di integrazione per serie:

$f(z) = \frac{1}{2 \pi j} int_\Gamma f(\xi) \sum_{n=0}^{+infty} \frac{(z-z_0)^n}{(\xi - z_0)^{n+1}} d \xi = $
$ = \sum_{n=0}^{+infty} ( \frac{1}{2 \pi j} int_\Gamma f(\xi) \frac{1}{(\xi - z_0)^{n+1}} d \xi ) (z-z_0)^n = $
$ = \sum_{n=0}^{+infty} a_n (z-z_0)^n $ (6)

ove si è posto:

$a_n = ( \frac{1}{2 \pi j} int_\Gamma f(\xi) \frac{1}{(\xi - z_0)^{n+1}} d \xi ) = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$

La serie (6) converge in $U_\delta(z_0)$ e questo conclude la dimostrazione.

Allora il teorema mi è chiaro, la dimostrazione meno. In particolare mi perdo dopo il passaggio della formula (5), cioè non capisco la disuguaglianza:

$(\frac{f(\xi)}{\xi - z_0}) <= M$

e da lì ovviamente non capisco nemmeno il seguito...

Poi un'altra cosa che non capisco è il fatto che $\xi \in \Gamma$: è solo un esempio (in base alla figura) e quindi $\xi$ può essere un qualunque valore della regione $\Omega \cup \Gamma$ escluso $U_\delta(z_0)$; oppure $\xi$ deve per forza appartenere a $\Gamma$?

Grazie!!

[Jack871]

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