Dimenticanza sulle disequazioni+Studio della f'(x)
Salve,
Stavo studiando la seguente funzione:
$f(x)=|x|\sqrt {x+1}$
che avevo scisso in: (sapendo che il dominio è $[-1, +\infty)$
[tex]$f(x) = \begin{cases} x\sqrt {x+1} & x\ge 0 \\
-x\sqrt {x+1} & -1
la cui derivata mi è venuta, notando che in $x=0$ c'è un punto angoloso:
[tex]f'(x)= \begin{cases} \frac{3x+2}{2\sqrt {x+1}} & x> 0 \\
\frac{-3x-2}{2\sqrt {x+1}} & -1
ora, nel momento in cui vado a studiare il segno della derivata prima per gli intervalli di crescenza o decrescenza, ponendo
$\frac{3x+2}{2\sqrt {x+1}) > 0$ risulta verificata per $x>0$
ma andando a fare l'altra legge, ossia
$\frac{-3x-2}{2\sqrt {x+1}) > 0$ mi sono accorto che ho dimenticato come risolvere le disequazioni, o meglio, il risultato finale non mi viene per nulla uguale a quello del libro.
EDIT: il mio risultato è che $f'(x)>0$ in $(-1, -2/3)\cup (0,+\infty)$ e quindi in tali intervalli la funzione cresce; mentre $f'(x)<0$ in $(-2/3, 0)$
Stavo studiando la seguente funzione:
$f(x)=|x|\sqrt {x+1}$
che avevo scisso in: (sapendo che il dominio è $[-1, +\infty)$
[tex]$f(x) = \begin{cases} x\sqrt {x+1} & x\ge 0 \\
-x\sqrt {x+1} & -1
la cui derivata mi è venuta, notando che in $x=0$ c'è un punto angoloso:
[tex]f'(x)= \begin{cases} \frac{3x+2}{2\sqrt {x+1}} & x> 0 \\
\frac{-3x-2}{2\sqrt {x+1}} & -1
ora, nel momento in cui vado a studiare il segno della derivata prima per gli intervalli di crescenza o decrescenza, ponendo
$\frac{3x+2}{2\sqrt {x+1}) > 0$ risulta verificata per $x>0$
ma andando a fare l'altra legge, ossia
$\frac{-3x-2}{2\sqrt {x+1}) > 0$ mi sono accorto che ho dimenticato come risolvere le disequazioni, o meglio, il risultato finale non mi viene per nulla uguale a quello del libro.
EDIT: il mio risultato è che $f'(x)>0$ in $(-1, -2/3)\cup (0,+\infty)$ e quindi in tali intervalli la funzione cresce; mentre $f'(x)<0$ in $(-2/3, 0)$
Risposte
"Orlok":
$\frac{3x+2}{2\sqrt {x+1}) > 0$ risulta verificata per $x>0$
ma andando a fare l'altra legge, ossia
Perchè?
considerando l'insieme di definizione che è:[tex]ID = \forall x > -1[/tex] (attento: in [tex]-1[/tex] la funzione non è definita perché si annullerebbe il denominatore!)
[tex]3x+2 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac {2} {3}[/tex]
mentre
[tex]2\sqrt {x+1} > 0 \Leftrightarrow \forall x \in ID - \{-1\}[/tex]
Allora, ti accorgi che:
Quindi la disequazione è verificata per [tex]x> -\frac {2}{3}[/tex].
D'altronde il grafico può darti un idea e farti capire il perchè:
"Mathcrazy":
[quote="Orlok"]
$\frac{3x+2}{2\sqrt {x+1}) > 0$ risulta verificata per $x>0$
ma andando a fare l'altra legge, ossia
Perchè?
considerando l'insieme di definizione che è:[tex]ID = \forall x > -1[/tex] (attento: in [tex]-1[/tex] la funzione non è definita perché si annullerebbe il denominatore!)
[tex]3x+2 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac {2} {3}[/tex]
mentre
[tex]2\sqrt {x+1} > 0 \Leftrightarrow \forall x \in ID - \{-1\}[/tex]
Allora, ti accorgi che:
Quindi la disequazione è verificata per [tex]x> -\frac {2}{3}[/tex].
D'altronde il grafico può darti un idea e farti capire il perchè:
[/quote]Mmm...quando lui studia $\frac{3x+2}{2\sqrt {x+1}) > 0$ non si preoccupa di quello che c'è per $x<0$ perchè, dato che quel pezzo di funzione veniva dalla scissione del valore assoluto, considera soltanto le $x>=0$, quindi quello che ha scritto è giusto
azz, aveva distinto i casi!!! ho visto ora!!!!
Mi era caduto l'occhio su quella disequazione e non avevo letto proprio la funzione da cui era partito!
Mi era caduto l'occhio su quella disequazione e non avevo letto proprio la funzione da cui era partito!
No problem Mathcrazy, ho visto ora che c'è un errata corrige sul libro ed il risultato autentico è quello che ho scritto io. Grazie comunque.
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