Dim. Teorema di unicità del limite di successioni reali

[JoJo_90]

Salve a tutti. Vi scrivo per chiedere delucidazioni riguardo la dimostrazione del teorema di unicità del limite per successioni reali. Ho visto, attraverso la funzione cerca, che l'argomento è già stato trattato diverse volte; tuttavia, pur avendo letto i post già aperti su questo argomento ancora mi rimangono dei dubbi.
Per prima cosa vorrei riportare la dimostrazione che ho negli appunti per vederificare se è corretta o meno (infatti non sarebbe la prima volta che scrivo una cosa per un'altra).

Teorema. Sia ${a_n}_n_in_NN$ una successione di numeri reali. Se ${a_n}_n_in_NN$ è convergente, allora il limite è unico.

Dimostrazione (per assurdo).
Poichè la successione è convergente si ha $lim_(n -> oo) a_n = l_1$.
Ragioniamo per assurdo e assumiamo che il limite non è unico, cioè $lim_(n -> oo) a_n = l_2$, con $l_1!=l_2$
Esplicitiamo la definizione di limite:

1) $AA \epsilon>0" "EE \nu_1 in NN" ":" "AAn > \nu_1" "si" "ha" "|a_n - l_1| <\epsilon/2$

2) $AA \epsilon>0" "EE \nu_2 in NN" ":" "AAn > \nu_2" "si" "ha" "|a_n - l_2| <\epsilon/2$

Ponendo $\nu = max {\nu_1," "\nu_2}" "AAn > \nu" "si" "ha:

3) $|a_n - l_1| <\epsilon/2$

4) $|a_n - l_2| <\epsilon/2$

Consideriamo $|l_2 - l_1| = |l_2 - a_n + a_n - l_1|$
Utilizzando la disuguaglianza triangolare si ottiene: $|l_2 - a_n + a_n - l_1|" "<=" "|l_2 - a_n| + |a_n - l_1|$

Riordinando e sommando membro a membro le relazioni 3) e 4) si ottiene:

$|a_n - l_2| + |a_n - l_1|" "<" "\epsilon/2 + \epsilon/2$

Ed infine si arriva all'assurdo: $AA \epsilon>0" "|l_2 - l_1|" "<\epsilon$, segue che $l_1=l_2$.
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Questo è quanto scritto nel mio quaderno. Ora per prima cosa vorrei sapere se quanto scritto è esatto ed in particolare se è corretto il passaggio della somma "membro a membro". Questo è l'unica cosa che ho aggiunto io per giustificare questo: $|a_n - l_2| + |a_n - l_1|" "<" "\epsilon/2 + \epsilon/2$.

Il mio principale dubbio riguarda l'ultimo passaggio: cioè quando si arriva all'assurdo. Perchè segue che i due limiti sono uguali?
Ho letto come ripeto sia le altre discussioni qui sul forum, sia su appunti recuperati su internet, ma ancora non riesco a capire quel passaggio. Chiedo quindi se potreste spiegarmelo, magari con qualche esempio.

Grazie anticipatamente per il vostro aiuto.

[dissonance]

"Jo_90":Perchè segue che i due limiti sono uguali?

Pensa ad un numero reale positivo $a$ talmente piccolo che per ogni $epsilon>0$ si abbia $a
Questa è una delle proprietà fondamentali dei numeri reali, la proprietà archimedea.

[JoJo_90]

Allora, spero di non dire una corbelleria. Se non sbaglio la frase che hai scritto potrebbe essere equivalente a questa: a è un numero reale positivo più piccolo di tutti i numeri (epsilon) positivi? Quindi ne deduco che a=0?