Dim. su codominio di particolare funzione
$(log(x)-log(log(1+x)))/log(1+x)$
ha per codominio ]1/2,1[
Non sono riuscito a provarlo lavorando direttamente sulla funzione (per esempio provando che è strettamente crescente), ma studiando il segno, fissato x>0, della funzione definita da $f(y)=(1+x)^ylog(1+x)-x$.
C'è qualcuno che vi riesce senza la funzione ausiliara usata da me o/e che vuole esprimere opinioni in proposito?
grazie
ha per codominio ]1/2,1[
Non sono riuscito a provarlo lavorando direttamente sulla funzione (per esempio provando che è strettamente crescente), ma studiando il segno, fissato x>0, della funzione definita da $f(y)=(1+x)^ylog(1+x)-x$.
C'è qualcuno che vi riesce senza la funzione ausiliara usata da me o/e che vuole esprimere opinioni in proposito?
grazie
Risposte
provo a rilanciarlo, è stato letto poche volte, forse l'ho postato al momento sbagliato....
Ciao!
Passata bene,questa Domenica di Pasqua?
Il tuo quesito è interessante,ma prima di parlarne avrei bisogno d'una informazione:
dovevi svolgere il tuo esercizio coi mezzi di Analisi I?
In tal caso,alternativamente al tuo metodo
(che mi pare corretto e,se non hai ancora studiato l'Analisi II,
terrei da parte con accuratezza per rispolverarlo con piacere al momento opportuno..),
grazie alla continuità della tua f "basterebbe" far vedere che:
(1)La f non attraversa mai l'asintoto orizzontale parziale destro che,direi,hai ben individuato
(e per farlo ti basterebbero i mezzi di Analisi I,perchè miscelandoli per bene trovi almeno un paio di modi per verificare che $(e^t-1)/t=e^t$ non ha soluzione in $(0,+oo)$).
(2)$f(x)=cdots=log_(1+x)x/(log(1+x))>lim_(x->0^+)f(x)=1/2$ $AAx in(0,+oo)$
(l'ultima uguaglianza al limite l'ho messa per completezza,ma mi sà che l'avevi già determinata..)$lArrx>(1+x)^(1/2)*log(1+x)$ $AAx in RR^+cdots$
Facci sapere:
saluti dal web.
Passata bene,questa Domenica di Pasqua?
Il tuo quesito è interessante,ma prima di parlarne avrei bisogno d'una informazione:
dovevi svolgere il tuo esercizio coi mezzi di Analisi I?
In tal caso,alternativamente al tuo metodo
(che mi pare corretto e,se non hai ancora studiato l'Analisi II,
terrei da parte con accuratezza per rispolverarlo con piacere al momento opportuno..),
grazie alla continuità della tua f "basterebbe" far vedere che:
(1)La f non attraversa mai l'asintoto orizzontale parziale destro che,direi,hai ben individuato
(e per farlo ti basterebbero i mezzi di Analisi I,perchè miscelandoli per bene trovi almeno un paio di modi per verificare che $(e^t-1)/t=e^t$ non ha soluzione in $(0,+oo)$).
(2)$f(x)=cdots=log_(1+x)x/(log(1+x))>lim_(x->0^+)f(x)=1/2$ $AAx in(0,+oo)$
(l'ultima uguaglianza al limite l'ho messa per completezza,ma mi sà che l'avevi già determinata..)$lArrx>(1+x)^(1/2)*log(1+x)$ $AAx in RR^+cdots$
Facci sapere:
saluti dal web.
ciao, sarebbe preferibile farlo solo con analisi I o con "poca analisi 2" perchè è una funzione interessante da un punto di vista finanziario e, quindi, il discorso andrebbe rivolto a studenti di economia che di certo "non usano matematica sofisticata"; però ritengo interessante qualsiasi dimostrazione, anche con tecniche "superiori", che, ahimè, visto l'età che ho (passati vari decenni dal mio analisi 2!), devo conoscere da tanto tempo.
In effetti, per quanto riguarda la prova diretta, mi sembra tutto banale tranne quello che tu chiami la (2)
grazie per la risposta
ciao
In effetti, per quanto riguarda la prova diretta, mi sembra tutto banale tranne quello che tu chiami la (2)
grazie per la risposta
ciao
Ciao, siccome - ahimè - anche per me sono passati parecchi decenni da quando ho dato Analisi II, ho provato per via grafica: una volta stabilito che i limiti per [tex]x\rightarrow 0^{+}[/tex] e per [tex]x\rightarrow +\infty[/tex] sono 1/2 ed 1, la richiesta che la funzione sia sempre compresa tra tali valori l'ho tradotta nel risolvere un sistema di due disequazioni: la prima
(1) [tex]\frac{\ln x-\ln\ln(1+x)}{\ln(1+x)}<1\Rightarrow \ln\frac{x}{1+x}<\ln\ln(1+x)\Rightarrow \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)[/tex], con [tex]x>0[/tex];
l'ultima disuguaglianza si tratta facilmente per via grafica, le due curve sono tangenti nell'origine, a destra della quale il primo membro rimane strettamente al di sotto del secondo;
la seconda mi ha dato qualche problema in più:
(2) [tex]\frac{\ln x-\ln\ln(1+x)}{\ln(1+x)}>\frac{1}{2}\Rightarrow \ln \frac{x}{\sqrt{1+x}}>\ln\ln(1+x)\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+x}}>\ln(1+x)[/tex], sempre con [tex]x>0[/tex];
quest'ultima per via grafica è meno ovvia, ma le due curve si toccano nell'origine, a destra della quale crescono entrambe in modo non limitato, ma con derivate la prima maggiore della seconda per tutti i valori di [tex]x>0[/tex]:
[tex]\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \frac{x}{\sqrt{1+x}}=\frac{1+x/2}{(1+x)\sqrt{1+x}}=\frac{1}{1+x}\sqrt{\frac{1+x+x^{2}/4}{1+x}}=\frac{1}{1+x}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{4(1+x)}}>\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\ln(1+x)=\frac{1}{1+x}[/tex];
il che implica che dopo la tangenza nell'origine la curva razionale aumenti più rapidamente di quella logaritimica e che anche questa seconda disequazione sia vera per tutti i positivi. Del resto lo stesso criterio (di confrontare le derivate) vale anche per la (1), e se sembra poco rigoroso il confronto delle derivate per decidere che una curva cresce più rapidamente dell'altra c'è un teorema di Cauchy che lo rende inattaccabile.
Può funzionare?
(1) [tex]\frac{\ln x-\ln\ln(1+x)}{\ln(1+x)}<1\Rightarrow \ln\frac{x}{1+x}<\ln\ln(1+x)\Rightarrow \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)[/tex], con [tex]x>0[/tex];
l'ultima disuguaglianza si tratta facilmente per via grafica, le due curve sono tangenti nell'origine, a destra della quale il primo membro rimane strettamente al di sotto del secondo;
la seconda mi ha dato qualche problema in più:
(2) [tex]\frac{\ln x-\ln\ln(1+x)}{\ln(1+x)}>\frac{1}{2}\Rightarrow \ln \frac{x}{\sqrt{1+x}}>\ln\ln(1+x)\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+x}}>\ln(1+x)[/tex], sempre con [tex]x>0[/tex];
quest'ultima per via grafica è meno ovvia, ma le due curve si toccano nell'origine, a destra della quale crescono entrambe in modo non limitato, ma con derivate la prima maggiore della seconda per tutti i valori di [tex]x>0[/tex]:
[tex]\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \frac{x}{\sqrt{1+x}}=\frac{1+x/2}{(1+x)\sqrt{1+x}}=\frac{1}{1+x}\sqrt{\frac{1+x+x^{2}/4}{1+x}}=\frac{1}{1+x}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{4(1+x)}}>\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\ln(1+x)=\frac{1}{1+x}[/tex];
il che implica che dopo la tangenza nell'origine la curva razionale aumenti più rapidamente di quella logaritimica e che anche questa seconda disequazione sia vera per tutti i positivi. Del resto lo stesso criterio (di confrontare le derivate) vale anche per la (1), e se sembra poco rigoroso il confronto delle derivate per decidere che una curva cresce più rapidamente dell'altra c'è un teorema di Cauchy che lo rende inattaccabile.
Può funzionare?
ciao, ad una rapida occhiata del punto 2) (quello non banale) mi pare giusto; mi sembra rigoroso senza scomodare Cauchy, la differenza tra le due funzioni di cui hai confrontato le derivate è, per ciò che hai dedotto tu, nulla in 0 e con derivata positiva e, quindi, è a sua volta positiva....tutto perfetto
grazie
ciao
grazie
ciao
Grazie a te per l'approvazione... Ciao
In effetti con la dim di Palliit abbiamo un'altra dimostrazione rispetto alla mia (anche se la funzione finale a cui conducono le dim. è la stessa). A questo punto sarebbe interessante arrivarci con una terza prova che mostri la stretta crescenza della funzione (se, come pare, lo è)
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