Dilemma numeri complessi: esercizio

Flakkio1
Ciao a tutti!

Mi trovo in difficoltà con i nueri complessi in generale, in particoalre volevo proporvi questo esercizio:

$Z(Z^2+2i)(Z^4 + 16) = 0 $

(spero di aver scritto bene la formula, lo faccio per la prima volta)
Precisazione: nelle formule sotto, P sta per P greco, che ho riscontrato qualche problema a scrivere con le formule del sito

ho le soluzioni ma non mi tornano.
CHe la prima sia $Z_0=0$ sono d'accordo ed è intuitivo.

Il problema sono le altre 6 (2 da una parte e 4 dall'altra) che non mi tornano.

Il testo dice $ -2i= 2*e^(i*3*pi/2)$ e da li ricavo le prime due soluzioni cioè $Z_1$ e $Z_2$ che sono rispettivamente

$Z_1=sqrt(2)*e^(i*3*pi/4)$
$Z_2$=$sqrt(2)$*$e^(i*7*pi/4)$

Già non mi tornano il 3 e il 7 agli esponenti. Secondo le mie formule (2k+1)+$\pi$ dovrebbe venire prima si 3 ma la seconda soluzione sarebbe con 5 all'esponente. Sapete aiutarmi almeno su queta parte? Immagino la seconda parte sia tutta di conseguenza...

Grazie ciao!!!
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Ho un po' sistemato le formule : per una formula anche lunga e complessa basta mettere un segno del dollaro all'inizio e uno alla fine.
Per il pi greco digita pi.
Camillo

Risposte
Camillo
La formula è $theta = (theta_0 +2kpi)/2 $ nel caso di radice quadrata quindi gli angoli sono $theta_1 = 3pi/4 $ ; $theta_2 = (3pi/2+2pi)/2 = 7pi/4$.

Flakkio1
Ciao! Ti ringrazio per la risposta :-)

Non mi è chiara una cosa: come viene ottenuta questa parte (che io stesso ho scritto che mi da il libro)

$ -2i= 2*e^(i*3*pi/2)$

Non riesco a capire da dove prendere quella parte per poter quindi avere il (3P/2) su cui basare le altre soluzioni

P.s. Ti ringrazio per le formule corrette

Camillo
Dunque $ i =e^(ipi/2) ; -i = e^(i3pi/2) ; -2i = 2e^(i3pi/2 )$ , ok ?

Flakkio1
Allora, il concetto l'ho capito ma non riesco a svolgere la seconda parte che è al quarto grado.

In base a questo discorso -16=16$e^(i*pi)$

quindi la prima delle 4 soluzioni $z_3$ sarà =2$e^(i*pi/4)$ dove il 4 al denominatore dell'esponente è dato dalla radice quarta.

Seguendo il discorso il mio angolo che è ora composto da $pi$ dovrebbe diventare $(pi + 2kpi)/2$ e ottengo 3$pi$/2

La soluzione successiva dovrebbe allora essere $Z_4=2e^((i*3*pi/2)/4)$ che se non sbaglio da $Z_4=2e^((i*3*pi)/8)$

La soluzione invece mi dice che il denominatore dell'esponente rimane 4, ovvero $Z_4=2e^((i*3*pi)/4)$

In pratica è come se facesse $theta_1$=$theta_0$+$2kpi$ senza poi dividere per 2, come invece indicava la formula che hai inserito tu precedentemente ( e che effettivamente portava alla risoluzione della parte precedente)
Sai dirmi in cosa sbaglio?

Ti ringrazio dell'aiuto e soprattutto la pazienza

Camillo
L'angolo è dato da $( pi+2kpi)/4 $ con $k =0,1,2,3 $ e quindi gli angoli sono $ pi/4, 3pi/4,5pi/4,7pi/4 $

Flakkio1
Per prima cosa ti ringrazio di cuore: ora che ho capito l'esercizio sembra una cosa molto banale, ma tra spiegazioni approssimative, formule mal spiegate e professori poco chiari, mai sono riuscito a capire queste banali operazioni.

Approfitto di questo fatto per chiedere chiarimenti su un altro esercizio che ho trovato e che, essendo leggermente diverso come struttura, mi ha un po' confuso.

Il testo recita:

$(z - 1)^3 + i = 0$

Da qui sposto la i a destra dell'uguale e faccio una radice cubica, ottenendo $z - 1=root(3)(-i)$

Poi spostiamo il -1 a destra ottenendo il definitivo $z=root(3)(-i) + 1$

A questo punto il testo propone come soluzioni

$Z_0=1 + i$ , $Z_1=1 + 1/2 * (-sqrt(3) - i)$ e $Z_2= 1 + 1/2 * (sqrt(3) - i)

Non capisco come sono stati trattati questi numeri. Anche perchè non compare una $e^i$, ma neanche un seno (o un coseno) e per finire neanche le x e y della forma algebrica. Quindi non capisco come ci sia arrivato

Camillo
$z=1+root(3)(-i ) $ è corretto , adesso trova le tre radici terze di $-i =e^(i3pi/2) $.

Se nel risultato finale non appaiono nè esponenziali nè $sin , cos $ vorrà dire che ha convertito i risultati in forma algebrica passando dalla forma polare a quella trigonometrica a quella algebrica.
Si vede che si trovano angoli le cui funzioni trigonometriche si esprimono in modo assai semplice....

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