Dilemma equazione differenziale
ciao ho un grasso dubbio su di un'equazione differenziale:
y'=(-2xy)/((y^2)-(x^2))
y(1)=0
a questo punto il mio professore mi ha detto che la soluzione è diretta ed è y=0 perche' valgono le condizioni per l'esistenza e unicita' della soluzione nell' intorno del punto...sinceramente non ho capito bene il perche'...cioe'è vero che la derivata prim vale zero se y=o e x=1, ma questo significa che la sua primitiva è costante nient'altro...mi potete illuminare perfavore?grazie!
y'=(-2xy)/((y^2)-(x^2))
y(1)=0
a questo punto il mio professore mi ha detto che la soluzione è diretta ed è y=0 perche' valgono le condizioni per l'esistenza e unicita' della soluzione nell' intorno del punto...sinceramente non ho capito bene il perche'...cioe'è vero che la derivata prim vale zero se y=o e x=1, ma questo significa che la sua primitiva è costante nient'altro...mi potete illuminare perfavore?grazie!
Risposte
L’equazione differenziale proposta è veramente interessante…
$y’= (-2*x*y)/(y^2-x^2)$ (1)
… con $y(1)=0$. Il motivo del suo ‘interesse’ sta nel fatto che essa offre l’opportunità si verificare l’utilità di un metodo di analisi da me descritto tempo fa chiamato Metodo delle isocline. L’idea del metodo è assai semplice e consiste nell’esame del luogo di punti sul piano $[x,y]$ per cui è…
$y’=c$ (2)
… con $c$ costante. Nel caso proposto la condizione (2) si svilupppa nella equazione algebrica di secondo grado seguente…
$c*y^2+2*x*y-c*x^2=0$ (3)
… la quale fornisce le due soluzioni…
$y=(-1+- sqrt(1+c^2))/c*x$ (4)
Le isocline in questo caso sono peranto delle coppie di rette tra loro perpendicolari. Alcune di queste [per semplicità sono esaminati solo valopri di $c$ positivi, il caso di $c$ negativo è semplicemente ‘speculare’…] sono riportate in figura…
Nei due ‘casi limite’ $c=0$ e $c=+oo$ le coppie di rette coincidono rispettivamente con gli assi cartesiani e con le bisettrici dei quattro quadranti. Tutti gli altri casi in cui è $c>0$ stanno tra i due casi limite. Nel punto $[0,1]$ è $y’=0$ e certamente la curva $y=0$ è soluzione dell’equazione con la condizione assegnata. Il problema a questo punto è un altro e cioè: tale soluzione è unica?… Da un esame preliminare sembrerebbe di no, in quanto è una soluzione ‘instabile’ , ossia una 'piccola' variazione positiva della $y$ porta questa ad 'allontanarsi' sempre di più dall’asse $x$. Questa per il momento è solo una mia ‘impressione’… più tardi [impegni permettendo…] vedrò di fare un’analisi più precisa…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$y’= (-2*x*y)/(y^2-x^2)$ (1)
… con $y(1)=0$. Il motivo del suo ‘interesse’ sta nel fatto che essa offre l’opportunità si verificare l’utilità di un metodo di analisi da me descritto tempo fa chiamato Metodo delle isocline. L’idea del metodo è assai semplice e consiste nell’esame del luogo di punti sul piano $[x,y]$ per cui è…
$y’=c$ (2)
… con $c$ costante. Nel caso proposto la condizione (2) si svilupppa nella equazione algebrica di secondo grado seguente…
$c*y^2+2*x*y-c*x^2=0$ (3)
… la quale fornisce le due soluzioni…
$y=(-1+- sqrt(1+c^2))/c*x$ (4)
Le isocline in questo caso sono peranto delle coppie di rette tra loro perpendicolari. Alcune di queste [per semplicità sono esaminati solo valopri di $c$ positivi, il caso di $c$ negativo è semplicemente ‘speculare’…] sono riportate in figura…
Nei due ‘casi limite’ $c=0$ e $c=+oo$ le coppie di rette coincidono rispettivamente con gli assi cartesiani e con le bisettrici dei quattro quadranti. Tutti gli altri casi in cui è $c>0$ stanno tra i due casi limite. Nel punto $[0,1]$ è $y’=0$ e certamente la curva $y=0$ è soluzione dell’equazione con la condizione assegnata. Il problema a questo punto è un altro e cioè: tale soluzione è unica?… Da un esame preliminare sembrerebbe di no, in quanto è una soluzione ‘instabile’ , ossia una 'piccola' variazione positiva della $y$ porta questa ad 'allontanarsi' sempre di più dall’asse $x$. Questa per il momento è solo una mia ‘impressione’… più tardi [impegni permettendo…] vedrò di fare un’analisi più precisa…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Nella (4) manca la $x $ ; $y=((-1+-sqrt(1+c^2))/c)*x$.
La soluzione è $y=0$, e si deduce subito dall'equazione senza nessun metodo. Inoltre voglio sottolineare il fatto che la soluzione si arresta nell'origine, esclusa. Non è definita su tutto $\RR$, dal momento che l'origine non sta nel dominio della funzione $f(x,y)$ che sta a secondo membro dell'equaziona data.
"Camillo":
Nella (4) manca la $x $ ; $y=((-1+-sqrt(1+c^2))/c)*x$.
Esatto!... il post è stato buttato giù questa mattina in fretta e furia prima di andare al lavoro e quindi
... per fortuna c'è Camillo!... 
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ragazzi
stamane abbiamo visto che l’equazione differenziale…
$y’= (-2*x*y)/(y^2-x^2)$ (1)
… ammette curve isocline [ossia le curve per cui è $y’=k$ con $k$ costante…] del tipo…
$y=(-1+-sqrt(1+k^2))*x/k$ (2)
Per un’analisi accurata è tuttavia necessario tentare di trovare l’espressione generale della soluzione. Per avere un’espressione più malleabile conviene in questo caso operare una doppia sostituzione. Per prima cosa si scambiano le variabili di modo che il termine noto diventa la $y$ e la funzione incognita diviene la $x=f(y)$. Dal momento che è $dx/(dy)=1/(dy/(dx))$ la (1) diviene…
$x’=(x^2-y^2)/(2*x*y)= x/(2*y)-y/(2*x)$ (3)
A questo punto si pone $z=x^2$ per cui la (3) a sua volta diviene…
$z’= 2*x*x’= z/y-y$ (4)
… la quale è una equazione lineare e può essere risolta applicando la formula standard. Il risultato è…
$z=e^ln y*(-int y*e^(-ln y)*dy+c)= c*y-y^2$ (5)
… dove $c$ è la usuale ‘costante arbitraria’. Tenendo in conto la sostituzione fatta si arriva alla soluzione finale…
$x=+-sqrt (c*y-y^2)$ (6)
Le curve (6) per alcuni valori di $c$ [$c=.5$, $c=1$, $c=1.5$…] sono illustrate in figura insieme con alcune delle isocline…
Come si può ben constatare le (6) altro non sono che… cerchi… la figura geometrica che preferisco di gran lunga alle altre!…
Si è visto che la condizione iniziale $y(1)=0$ implica la soluzione $y=0$. Ora alla luce dell’analisi si può affermare che tale soluzione è unica. Essa a rigore dovrebbe essere trattata come integrale singolare, anche se può essere vista come il limite delle (6) per $c->oo$. Questa mattina presto ho scritto che a prima vista la soluzione $y=0$ non mi sembrava essere l’unica con quella condizione iniziale. Evidentemente ciò non era vero e la morale è la seguente: non sempre le ore del mattino hanno ‘oro in bocca’…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
stamane abbiamo visto che l’equazione differenziale…
$y’= (-2*x*y)/(y^2-x^2)$ (1)
… ammette curve isocline [ossia le curve per cui è $y’=k$ con $k$ costante…] del tipo…
$y=(-1+-sqrt(1+k^2))*x/k$ (2)
Per un’analisi accurata è tuttavia necessario tentare di trovare l’espressione generale della soluzione. Per avere un’espressione più malleabile conviene in questo caso operare una doppia sostituzione. Per prima cosa si scambiano le variabili di modo che il termine noto diventa la $y$ e la funzione incognita diviene la $x=f(y)$. Dal momento che è $dx/(dy)=1/(dy/(dx))$ la (1) diviene…
$x’=(x^2-y^2)/(2*x*y)= x/(2*y)-y/(2*x)$ (3)
A questo punto si pone $z=x^2$ per cui la (3) a sua volta diviene…
$z’= 2*x*x’= z/y-y$ (4)
… la quale è una equazione lineare e può essere risolta applicando la formula standard. Il risultato è…
$z=e^ln y*(-int y*e^(-ln y)*dy+c)= c*y-y^2$ (5)
… dove $c$ è la usuale ‘costante arbitraria’. Tenendo in conto la sostituzione fatta si arriva alla soluzione finale…
$x=+-sqrt (c*y-y^2)$ (6)
Le curve (6) per alcuni valori di $c$ [$c=.5$, $c=1$, $c=1.5$…] sono illustrate in figura insieme con alcune delle isocline…
Come si può ben constatare le (6) altro non sono che… cerchi… la figura geometrica che preferisco di gran lunga alle altre!…
Si è visto che la condizione iniziale $y(1)=0$ implica la soluzione $y=0$. Ora alla luce dell’analisi si può affermare che tale soluzione è unica. Essa a rigore dovrebbe essere trattata come integrale singolare, anche se può essere vista come il limite delle (6) per $c->oo$. Questa mattina presto ho scritto che a prima vista la soluzione $y=0$ non mi sembrava essere l’unica con quella condizione iniziale. Evidentemente ciò non era vero e la morale è la seguente: non sempre le ore del mattino hanno ‘oro in bocca’…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
La tua analisi va bene, però ti scordi di dire forse la cosa più importante della storia: che la soluzione $y=0$ si arresta quando arriva nell'origine, non prosegue sulla semiretta negativa. E' fondamentale, per una ode, sapere il dominio della soluzione massimale.
"Luca.Lussardi":
... la tua analisi va bene, però ti scordi di dire forse la cosa più importante della storia: che la soluzione $y=0$ si arresta quando arriva nell'origine, non prosegue sulla semiretta negativa...
...aiuto mamma!!!... bisognerà che il capostazione avverta i passeggeri che il treno è arrivato a capolinea... poi saranno c**** loro!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
grazie , forse mi sfugge ma non ho ancora capito in pratica perche' y=0 è soluzione immediata...mi spiego...il mio problema è che se vado a fare l'esame di analisi 2 e mi si propina un esercizio simile non so riconoscere quando la sluzione è immediata e nel caso in cui mi sbagliassi un terzo dell'esame, se non la meta,' andrebbe in fumo ...
Visto che Lupo grigio è così bravo a rispondere e può permettersi di prendere in giro gli altri, lascio a lui la responsabilità di risponderti.
Caro Buddy
la tua richiesta è perfettamente motivata e pertanto vediamo subito qual è la maniera di evitare qualsiasi ‘trabocchetto’ in caso un problema del genere ti fosse posto all’esame. A proposito di ‘trabocchetti’ diciamo subito che l’equazione differenziale che hai segnalato alla nostra attenzione a questo riguardo [cioè riguardo ai ‘trabocchetti’…] è ‘da manuale’. Vediamo perché esaminandola…
$y’=(-2*x*y)/(y^2-x^2)$, $y(1)=0$ (1)
Dunque per prima cosa occorre stabilire se con la condizione fissata esiste una soluzione della (1) e in caso di sì a quale campo si estende e se essa è unica. A questo risponde un teorema generale che fornisce condizioni sufficienti perché ciò sia vero. Limitatamente al caso di un’equazione del primo ordine tale teorema suona così…
Data una funzione $f(x,y)$ continua in un campo A e dato un punto di A di coordinate $[x_0,y_0]$, esiste almeno una funzione $y=y(x)$ continua insieme con la sua derivata la quale in un intervallo $x_0-h
$y’= f(x,y)$ (2)
… con la condizione $y(x_0)=y_0$. Se inoltre in ogni punto di A esistono e sono continue le derivate parziali della $f(x,y)$ allora la soluzione è unica…
Ciò premesso andiamo a verificare il nostro caso. La funzione…
$f(x,y)= (-2*x*y)/(y^2-x^2)$ (3)
… è continua ovunque insieme con le proprie derivate parziali tranne che nei punti in cui è $x^2=y^2$, punti nei quali non è definita. Pertanto perché siano valide le condizioni che garantiscono l’esistenza e unicità della soluzione il campo A non dovrà contenere i punti per cui è $y=+-x$. Dal momento che la condizione iniziale riguarda il punto $[1,0]$ esisterà una e una sola soluzione al problema…
Veniamo ora al secondo punto, cioè quello che più ti sta a cuore: perché con le condizioni così poste è ‘immediato’ verificare che $y=0$ è la soluzione?… va bene che in quel punto la derivata si annulla e la funzione anche, ma come faccio a capire che non si tratta di un massimo, un minimo, o magari un flesso?… Ebbene la tua domanda è estremamente appropriata, a dimostrazione che in matematica di ‘ovvio’ e ‘immediato’ c’è ben poco. Il modo ‘giusto’ [e niente affatto ‘immediato’…] di procedere in un caso come questo è tracciare il diagramma delle isocline, ossia trovare il luogo di punti per cui è $y’=c$, con $c$ costante. Abbiamo già visto che per la (1) le isocline soddisfano la relazione…
$y=(-1+-sqrt(1+c^2))*x/c$ (4)
… e alcune isocline sono illustrate nel diagramma…
Il metodo delle isocline è utile anche per il fatto che in certi casi consente di trovare soluzioni senza dover risolvere direttamente l’equazione. Nel caso infatti che la isoclina sia una retta di pendenza $k$ e sia $y’=k$ allora è evidente che la isoclina stessa è soluzione. Nel nostro caso la isoclina passante per il punto $[1,0]$ ha $k=0$ ed è $y’=0$, per cui la isoclina è soluzione…
Con ciò dovresti [mi auguro…] essere in grado di far fronte a qualsiasi ‘trabocchetto’ simile a questo ti dovesse capitare in un esame. In altre parole fai così e andrai sicuro…
Il discorso riguardante l’equazione (1) è tuttavia troppo interessante perché la cosa si esaurisca qui. In particolare occorre ricordare che il teorema prima ricordato fornisce condizioni sufficienti ma non necessarie per l’esistenza e unicità della soluzione. In altre parole nulla dice nei casi in cui non è verificato. Certo sarebbe interessante andare a vedere che cosa succede estendendo la (1) a tutto il campo reale. E’ quello che vedremo prossimamente…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but neevr his nature
P.S. carissimo Luca, quale onore!...
la tua richiesta è perfettamente motivata e pertanto vediamo subito qual è la maniera di evitare qualsiasi ‘trabocchetto’ in caso un problema del genere ti fosse posto all’esame. A proposito di ‘trabocchetti’ diciamo subito che l’equazione differenziale che hai segnalato alla nostra attenzione a questo riguardo [cioè riguardo ai ‘trabocchetti’…] è ‘da manuale’. Vediamo perché esaminandola…
$y’=(-2*x*y)/(y^2-x^2)$, $y(1)=0$ (1)
Dunque per prima cosa occorre stabilire se con la condizione fissata esiste una soluzione della (1) e in caso di sì a quale campo si estende e se essa è unica. A questo risponde un teorema generale che fornisce condizioni sufficienti perché ciò sia vero. Limitatamente al caso di un’equazione del primo ordine tale teorema suona così…
Data una funzione $f(x,y)$ continua in un campo A e dato un punto di A di coordinate $[x_0,y_0]$, esiste almeno una funzione $y=y(x)$ continua insieme con la sua derivata la quale in un intervallo $x_0-h
$y’= f(x,y)$ (2)
… con la condizione $y(x_0)=y_0$. Se inoltre in ogni punto di A esistono e sono continue le derivate parziali della $f(x,y)$ allora la soluzione è unica…
Ciò premesso andiamo a verificare il nostro caso. La funzione…
$f(x,y)= (-2*x*y)/(y^2-x^2)$ (3)
… è continua ovunque insieme con le proprie derivate parziali tranne che nei punti in cui è $x^2=y^2$, punti nei quali non è definita. Pertanto perché siano valide le condizioni che garantiscono l’esistenza e unicità della soluzione il campo A non dovrà contenere i punti per cui è $y=+-x$. Dal momento che la condizione iniziale riguarda il punto $[1,0]$ esisterà una e una sola soluzione al problema…
Veniamo ora al secondo punto, cioè quello che più ti sta a cuore: perché con le condizioni così poste è ‘immediato’ verificare che $y=0$ è la soluzione?… va bene che in quel punto la derivata si annulla e la funzione anche, ma come faccio a capire che non si tratta di un massimo, un minimo, o magari un flesso?… Ebbene la tua domanda è estremamente appropriata, a dimostrazione che in matematica di ‘ovvio’ e ‘immediato’ c’è ben poco. Il modo ‘giusto’ [e niente affatto ‘immediato’…] di procedere in un caso come questo è tracciare il diagramma delle isocline, ossia trovare il luogo di punti per cui è $y’=c$, con $c$ costante. Abbiamo già visto che per la (1) le isocline soddisfano la relazione…
$y=(-1+-sqrt(1+c^2))*x/c$ (4)
… e alcune isocline sono illustrate nel diagramma…
Il metodo delle isocline è utile anche per il fatto che in certi casi consente di trovare soluzioni senza dover risolvere direttamente l’equazione. Nel caso infatti che la isoclina sia una retta di pendenza $k$ e sia $y’=k$ allora è evidente che la isoclina stessa è soluzione. Nel nostro caso la isoclina passante per il punto $[1,0]$ ha $k=0$ ed è $y’=0$, per cui la isoclina è soluzione…
Con ciò dovresti [mi auguro…] essere in grado di far fronte a qualsiasi ‘trabocchetto’ simile a questo ti dovesse capitare in un esame. In altre parole fai così e andrai sicuro…
Il discorso riguardante l’equazione (1) è tuttavia troppo interessante perché la cosa si esaurisca qui. In particolare occorre ricordare che il teorema prima ricordato fornisce condizioni sufficienti ma non necessarie per l’esistenza e unicità della soluzione. In altre parole nulla dice nei casi in cui non è verificato. Certo sarebbe interessante andare a vedere che cosa succede estendendo la (1) a tutto il campo reale. E’ quello che vedremo prossimamente…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but neevr his nature
P.S. carissimo Luca, quale onore!...
grazie mille...ma se io facessi un ragionamento del tipo:"le condizioni di esistenza locale ed unicita' ci sono...PROVO a mettere nell' equazione la soluzione y=0 quando x=1,cio' implicherebbe y'=0
verifico che la soluzione soddisfa l'equazione e che "sono stato fortunato " nella scelta della soluzione..."
allora posso dire che il risultato è corretto?
verifico che la soluzione soddisfa l'equazione e che "sono stato fortunato " nella scelta della soluzione..."
allora posso dire che il risultato è corretto?
... a questo punto, commosso per il 'grande onore' accordatomi, restituisco la parola a Luca che certamente ti darà la risposta 'appropriata'... assai più appropriata della mia of corse... 
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
of course
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo