Difficoltà su un esercizio con l'integrale
Sto preparando l'esame di Analisi I. Non riuscendo a trovare la soluzione di un esercizio, ho guardato la soluzione proposta sul mio libro (Benevieri). Purtroppo il passaggio iniziale della soluzione è proprio quello che non riesco a capire, il seguito sarei in grado di farlo.
L'esercizio in questione è il seguente:
$ int_()^() (x^2+2)/(3x^2-8x-3) dx $
Nella soluzione viene detto che questo è uguale a:
$ 1/3x+int_()^()(8/3x+3)/(3x^2-8x-3)dx$
e da qui segue la risoluzione dell'esercizio.
In prima battuta ho provato a far comparire al numeratore la derivata del denominatore per avere come primitiva il logaritmo del denominatore. Ma poi ho visto che così mi sarei bloccato al passaggio succcessivo.
Dopodichè ho provato per parti usando la primitiva di $ x^2+2 $ ma anche così mi blocco sul secondo passaggio.
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
L'esercizio in questione è il seguente:
$ int_()^() (x^2+2)/(3x^2-8x-3) dx $
Nella soluzione viene detto che questo è uguale a:
$ 1/3x+int_()^()(8/3x+3)/(3x^2-8x-3)dx$
e da qui segue la risoluzione dell'esercizio.
In prima battuta ho provato a far comparire al numeratore la derivata del denominatore per avere come primitiva il logaritmo del denominatore. Ma poi ho visto che così mi sarei bloccato al passaggio succcessivo.
Dopodichè ho provato per parti usando la primitiva di $ x^2+2 $ ma anche così mi blocco sul secondo passaggio.
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Risposte
La funzione integranda si può scrivere come:
$1/3 * (3x^2+6)/(3x^2-8x-3) = 1/3 * (3x^2 - 8 x - 3 + ( 8 x + 3 + 6))/(3x^2-8x-3) = 1/3 * 1 + 1/3 * ( 8 x + 9)/(3x^2-8x-3)$
$1/3 * (3x^2+6)/(3x^2-8x-3) = 1/3 * (3x^2 - 8 x - 3 + ( 8 x + 3 + 6))/(3x^2-8x-3) = 1/3 * 1 + 1/3 * ( 8 x + 9)/(3x^2-8x-3)$
in pratica hai inizialmente moltiplicato per $ 3/3 =1 $ in modo da far comparire il $ 3 $ al numeratore. Questa intuizione come l'hai maturata?
Ho appena finito l'esercizio successivo, così riprovo a fare quello in oggetto con questo primo passaggio.
Grazie
Ho appena finito l'esercizio successivo, così riprovo a fare quello in oggetto con questo primo passaggio.
Grazie
L'idea è di far comparire a numeratore il polinomio che hai a denominatore ( più qualche cos'altro ). E' un passaggio abbastanza standard.
quindi, visto che al denominatore trovo $3x^2$ se moltiplicassi per $3$ il numeratore poi, facendo comparire il denomimatore + "qualche cosa" al numeratore il "qualche cosa" diventerebbe di primo grado. E' corretto?
"barbiomalefico":
quindi, visto che al denominatore trovo $3x^2$ se moltiplicassi per $3$ il numeratore poi, facendo comparire il denomimatore + "qualche cosa" al numeratore il "qualche cosa" diventerebbe di primo grado. E' corretto?
Sì. Un po' arzigogolato spiegato così, ma l'idea è corretta. Spezzando la frazione, per la linearità dell'integrale, trovi un integrale di una funzione costante più un integrale di una razionale fratta dove il grado del numeratore è $1$ e il grado del denominatore è $2$. Questo secondo addendo si risolve come integrale immediato.
Puoi anche vedere così : numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, allora faccio la divisione tra i due polinomi ottenendo appunto $1/3+(8x/3+3)/(3x^2-8x-3) $ .
Adesso sì che mi è chiaro. Infatti il numeratore si può rappresentare come il denominatore per una costante + un polinomio di primo grado che difatti fa risultare il rapporto come una costante più il rapporto tra il polinomio di primo grado e il numeratore.
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