Difficoltà numeri complessi
Buonasera a tutti e scusate il disturbo! Sto trovando difficoltà nel passare dalla forma trigonometrica alla forma algebrica di un numero complesso.
L'esercizio dato è il seguente: $z=[(sqrt3/2)-(i/2)]^11$
Il mio primo step è stato quello di ricavarmi il modulo e l'angolo del numero complesso, trascurandone momentaneamente il grado, utilizzando le opportune formule. Per il modulo ho applicato la somma dei quadrati del termine $a$ e $b$ sotto radice: $ro=sqrt(3/4+1/4) =1$ . Per ricavarmi invece l'angolo ho calcolato $arctan(b/a)$ trovandomi $5pi/6$ . Avendo ora modulo e angolo, mi sono scritto la formula trigonometrica tenendo, questa volta, considerazione del grado. Da ciò ottengo: $z= 1^11[(cos(5pi/6)+isen(5pi/6)]^11$ . Il mio problema risiede nel prossimo step. Come tratto quella potenza?
Grazie anticipatamente!
L'esercizio dato è il seguente: $z=[(sqrt3/2)-(i/2)]^11$
Il mio primo step è stato quello di ricavarmi il modulo e l'angolo del numero complesso, trascurandone momentaneamente il grado, utilizzando le opportune formule. Per il modulo ho applicato la somma dei quadrati del termine $a$ e $b$ sotto radice: $ro=sqrt(3/4+1/4) =1$ . Per ricavarmi invece l'angolo ho calcolato $arctan(b/a)$ trovandomi $5pi/6$ . Avendo ora modulo e angolo, mi sono scritto la formula trigonometrica tenendo, questa volta, considerazione del grado. Da ciò ottengo: $z= 1^11[(cos(5pi/6)+isen(5pi/6)]^11$ . Il mio problema risiede nel prossimo step. Come tratto quella potenza?
Grazie anticipatamente!
Risposte
Si dimostra che dato $z in CC,n in NN, z=r(cos(phi) +isin(phi)) $ si ha che
$z^n=r^n(cos(n phi) +isin(n phi)) $
Mi pare si chiami formula di De Moivre. Se sei interessato alla dimostrazione la posso scrivere o la trovi anche agevolmente credo su internet.
Ah e fai attenzione nel calcolo dell'argomento del numero complesso. Prova a rappresentare il numero nel piano complesso e guarda se l'argomento che hai trovato è coerente con la posizione del numero nel piano.
$z^n=r^n(cos(n phi) +isin(n phi)) $
Mi pare si chiami formula di De Moivre. Se sei interessato alla dimostrazione la posso scrivere o la trovi anche agevolmente credo su internet.
Ah e fai attenzione nel calcolo dell'argomento del numero complesso. Prova a rappresentare il numero nel piano complesso e guarda se l'argomento che hai trovato è coerente con la posizione del numero nel piano.
Ciao Ster24,
Sono d'accordo sul modulo, ma non sull'argomento del numero complesso $ sqrt3/2- i/2 $ (le parentesi tonde interne sono inutili). In questi casi la cosa più comoda è passare attraverso la forma esponenziale del numero complesso e poi a quella richiesta. A me risulta $ sqrt3/2- i/2 = e^{-i \pi/6}$, quindi si ha:
$ z = (sqrt3/2 - i/2)^11 = e^{-i (11\pi)/6} = e^{i\pi/6} = cos(\pi/6) + i sin(\pi/6) = sqrt3/2 + i/2 $
Sono d'accordo sul modulo, ma non sull'argomento del numero complesso $ sqrt3/2- i/2 $ (le parentesi tonde interne sono inutili). In questi casi la cosa più comoda è passare attraverso la forma esponenziale del numero complesso e poi a quella richiesta. A me risulta $ sqrt3/2- i/2 = e^{-i \pi/6}$, quindi si ha:
$ z = (sqrt3/2 - i/2)^11 = e^{-i (11\pi)/6} = e^{i\pi/6} = cos(\pi/6) + i sin(\pi/6) = sqrt3/2 + i/2 $
L'arcotangente non si usa.
Gli argomenti di un numero complesso sono le soluzioni del sistema $\{(cos theta = (text(Re)(z))/|z|), (sin theta = (text(Im)(z))/|z|):}$ e tali soluzioni non coincidono con le soluzioni di $tan theta = (text(Im)(z))/(text(Re)(z))$.
Gli argomenti di un numero complesso sono le soluzioni del sistema $\{(cos theta = (text(Re)(z))/|z|), (sin theta = (text(Im)(z))/|z|):}$ e tali soluzioni non coincidono con le soluzioni di $tan theta = (text(Im)(z))/(text(Re)(z))$.
Ciao gugo82,
Scusa, perché non si usa?
A me quel risultato è tornato proprio usando l'arcotangente:
$arg(z) = arctan((- 1/2)/(sqrt3/2)) = arctan(-1/sqrt3) = - arctan(1/sqrt3) = - \pi/6 $
"gugo82":
L'arcotangente non si usa.
Scusa, perché non si usa?
A me quel risultato è tornato proprio usando l'arcotangente:
$arg(z) = arctan((- 1/2)/(sqrt3/2)) = arctan(-1/sqrt3) = - arctan(1/sqrt3) = - \pi/6 $
Credo che intenda dire che se hai ad esempio $z=i-1$ e fai brutalmente l'arcotangente ti trovi
$arctan(-1)=-pi/4$ che non coincide con l'argomento di z.
$arctan(-1)=-pi/4$ che non coincide con l'argomento di z.
"pilloeffe":
Ciao gugo82,
[quote="gugo82"]L'arcotangente non si usa.
Scusa, perché non si usa?[/quote]
Perché l’ho detto: l’equazione in tangente non è equivalente al sistema che consente di determinare gli argomenti.
Okay, adesso mi è tutto chiaro! Grazie mille a tutti per la chiarezza.
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