Difficoltà con qualche limite
Ciao a tutti,
mi ritrovo a fare qualche limite di successione che non ha la minima idea di riuscirmi!
Il fatto è che ho i risultati (incomprensibili)...e i pochi passaggi che sono scritti sono diversi dai miei!
Allora:
$lim_(n->oo)((sqrt(n+1)+sqrt(n))*n!+3n^51+5^(n+1))/((n-1)!*(4n+n^(1/3)+sin(n^5+3))^(3/2))$
Eseguendo i MIEI calcoli, arrivo a questa soluzione parziale che non è per niente uguale a quella del proff:
$lim_(n->oo)(2sqrt(n)*n!*(1+o(1)))/((n-1)!*(4n+n^(1/3)+sin(n^5*(1+o(1))))^(3/2))$
Qualcuno mi sa spiegare perche invece il professore fa questo passaggio direttamente ?
$lim_(n->oo)(2sqrt(n)*n!*(1+o(1)))/((n-1)!*(4n)^(3/2))$
Io metto in evidenza $n^5$ dentro al seno...perche il prof non lo fa?
La mia intenzione era quella di avvalermi di questa considerazione:
$sinx/x = 1 \Leftrightarrow sinx=x(1+o(1))$ , per $x->0$
Premetto che sono i primi limiti cosi complessi che provo a fare! Quindi scusate gli orrori che posso aver commesso!
mi ritrovo a fare qualche limite di successione che non ha la minima idea di riuscirmi!
Il fatto è che ho i risultati (incomprensibili)...e i pochi passaggi che sono scritti sono diversi dai miei!
Allora:
$lim_(n->oo)((sqrt(n+1)+sqrt(n))*n!+3n^51+5^(n+1))/((n-1)!*(4n+n^(1/3)+sin(n^5+3))^(3/2))$
Eseguendo i MIEI calcoli, arrivo a questa soluzione parziale che non è per niente uguale a quella del proff:
$lim_(n->oo)(2sqrt(n)*n!*(1+o(1)))/((n-1)!*(4n+n^(1/3)+sin(n^5*(1+o(1))))^(3/2))$
Qualcuno mi sa spiegare perche invece il professore fa questo passaggio direttamente ?
$lim_(n->oo)(2sqrt(n)*n!*(1+o(1)))/((n-1)!*(4n)^(3/2))$
Io metto in evidenza $n^5$ dentro al seno...perche il prof non lo fa?
La mia intenzione era quella di avvalermi di questa considerazione:
$sinx/x = 1 \Leftrightarrow sinx=x(1+o(1))$ , per $x->0$
Premetto che sono i primi limiti cosi complessi che provo a fare! Quindi scusate gli orrori che posso aver commesso!
Risposte
scusa forse dico anche io una castroneria ma mi pare che il limite di una successione si calcoli sempre per n che tende all'infinito, non li ho mai visti per n che tende a zero
SI e vero scusami!! Errore di copia ed incolla!!
Correggo subito!
Correggo subito!
Al numeratore raccogli $ (sqrt(n+1)+sqrt(n))n! $ . Ti diventa
$ (sqrt(n+1)+sqrt(n))n! (1+(3n^51+5^n+1) / ((sqrt(n+1)+sqrt(n))n!)) $
la parte $ (3n^51+5^(n+1) )/ ((sqrt(n+1)+sqrt(n))n!) $ mi pare tenda a zero perché "comanda" il fattoriale.
Poi $ sqrt(n+1) ~~ sqrt(n) $ all' $ oo $, perciò $ sqrt(n+1) + sqrt(n) ~~ 2sqrt(n) $.
Al denominatore in $ 4n + n^(1 / 3) + sin (n^5+1) $ la potenza "dominante" è $n$ mentre $sin(n^5+3)$ non ha limite ma è sempre compreso fra -1 e 1. Raccogli $4n$ , ottieni
$ 4n^(3/2)(1+(n^(1/3)+sin(n^5+3))/(4n))^(3/2) $
ora $ (n^(1/3)+sin(n^5+3))/(4n) $ tende a zero e riscrivendo tutto il limite ti rimane la scrittura del tuo professore
$ (sqrt(n+1)+sqrt(n))n! (1+(3n^51+5^n+1) / ((sqrt(n+1)+sqrt(n))n!)) $
la parte $ (3n^51+5^(n+1) )/ ((sqrt(n+1)+sqrt(n))n!) $ mi pare tenda a zero perché "comanda" il fattoriale.
Poi $ sqrt(n+1) ~~ sqrt(n) $ all' $ oo $, perciò $ sqrt(n+1) + sqrt(n) ~~ 2sqrt(n) $.
Al denominatore in $ 4n + n^(1 / 3) + sin (n^5+1) $ la potenza "dominante" è $n$ mentre $sin(n^5+3)$ non ha limite ma è sempre compreso fra -1 e 1. Raccogli $4n$ , ottieni
$ 4n^(3/2)(1+(n^(1/3)+sin(n^5+3))/(4n))^(3/2) $
ora $ (n^(1/3)+sin(n^5+3))/(4n) $ tende a zero e riscrivendo tutto il limite ti rimane la scrittura del tuo professore
Al denominatore in $ 4n + n^(1 / 3) + sin (n^5+1) $ la potenza "dominante" è $n$ mentre $sin(n^5+3)$ non ha limite ma è sempre compreso fra -1 e 1. Raccogli $4n$ , ottieni...
E' questo che mi mancava!!
Quindi raccolgo $4n$ perchè non devo considerare per niente il seno giusto? Il suo limite è sempre compreso tra -1 e -1 quindi lo devo "trattare" come un numero normale?
Ciao a tutti!
A Ziben,che mi pare unisca alla volontà di ferro un buon metodo d'apprendimento,
e pure a Marix,
che deve però stare attento quando ha funzioni limitate nella legge di quella che stà passando al limite
(dotate o meno di limite,come giustamente diceva Z.):
le si può "tralasciare" senza rischi solo quando,facendolo,abbiamo a che fare con funzioni infinitesime
(quale ad ex è $1/(4n+n^(1/3))$..),
oppure quando quelle funzioni limitate sono moltiplicate per una convergente a 0.
Saluti dal web.
A Ziben,che mi pare unisca alla volontà di ferro un buon metodo d'apprendimento,
e pure a Marix,
che deve però stare attento quando ha funzioni limitate nella legge di quella che stà passando al limite
(dotate o meno di limite,come giustamente diceva Z.):
le si può "tralasciare" senza rischi solo quando,facendolo,abbiamo a che fare con funzioni infinitesime
(quale ad ex è $1/(4n+n^(1/3))$..),
oppure quando quelle funzioni limitate sono moltiplicate per una convergente a 0.
Saluti dal web.
"theras":
Ciao a tutti!
A Ziben,che mi pare unisca alla volontà di ferro un buon metodo d'apprendimento,
e pure a Marix,
che deve però stare attento quando ha funzioni limitate nella legge di quella che stà passando al limite
(dotate o meno di limite,come giustamente diceva Z.):
le si può "tralasciare" senza rischi solo quando,facendolo,abbiamo a che fare con funzioni infinitesime
(quale ad ex è $1/(4n+n^(1/3))$..),
oppure quando quelle funzioni limitate sono moltiplicate per una convergente a 0.
Saluti dal web.
Ciao theras.
Ti dispiacerebbe spiegarmi questa affermazione?
che deve però stare attento quando ha funzioni limitate nella legge di quella che stà passando al limite
(dotate o meno di limite,come giustamente diceva Z.)
Il mio problema nasce infatti quando mi trovo davanti a funzioni come quella che ho postato.
Perchè tra $4n$ e $sin(n^5+3)^(3/2)$ "la potenza dominante" (come dice Z. che ringrazio per il suo tempo) è $4n$?
Ciao!
Accade perchè,da $-1<=senx<=1$ $AAx in RR$,potrai dedurre come $-1/n<=(sen(n^5+3))/n<=1/n$ $AA n in NN$:
gli estremi di questa disuguaglianza,
che così per come sono nascon proprio dalla limitatezza del seno(detto senza malizia,ovviamente
),
sono entrambi infinitesimi
(e lo sarebbero pure se inf e sup fossero numeri reali diversi da -1 e/o 1..),
e questo ti permetterà di dire qualcosa d'importante a proposito del numero a cui è "costretto" a
convergere $(sen(n^5+3))/n$:
saluti dal web.
Accade perchè,da $-1<=senx<=1$ $AAx in RR$,potrai dedurre come $-1/n<=(sen(n^5+3))/n<=1/n$ $AA n in NN$:
gli estremi di questa disuguaglianza,
che così per come sono nascon proprio dalla limitatezza del seno(detto senza malizia,ovviamente
),sono entrambi infinitesimi
(e lo sarebbero pure se inf e sup fossero numeri reali diversi da -1 e/o 1..),
e questo ti permetterà di dire qualcosa d'importante a proposito del numero a cui è "costretto" a
convergere $(sen(n^5+3))/n$:
saluti dal web.
Grazie a Theras per i consigli e gli approfondimenti che ci permettono di migliorare.
Ciao
Ciao
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