Difficoltà con limite a infinito di un rapporto di polinomi
L'esercizio in questione è il seguente
$lim_{x\to -\infty}\frac{e^(2*x)+e^x*sen(x)+e^(x/2)}{(arctan(x))*e^(x/2)+(e^x)*cos(x)}$
È da risolvere usando solo algebra dei limiti e limiti notevoli se possibile.
Ho provato con un cambio di variabile ponendo $y=e^(x/2)$ e $x=2ln(y)$ ottenendo:
$lim_{y\to 0}\frac{y^4+y^2*sen(2ln(y))+y}{(arctan(2ln(y))*y+y^2*cos(2ln(y)))}$
a questo punto ho pensato di raccogliere il termine di grado minore sopra e sotto, però gli argomenti di seno e coseno con sono infiniti... qualche idea su come procedere?
Sto iniziando adesso a vedere i limiti e il 28 ho il primo parziale di analisi (lavorare e studiare assieme è atroce, e ovviamente non ce la farò mai a prepararmi dignitosamente
)
$lim_{x\to -\infty}\frac{e^(2*x)+e^x*sen(x)+e^(x/2)}{(arctan(x))*e^(x/2)+(e^x)*cos(x)}$
È da risolvere usando solo algebra dei limiti e limiti notevoli se possibile.
Ho provato con un cambio di variabile ponendo $y=e^(x/2)$ e $x=2ln(y)$ ottenendo:
$lim_{y\to 0}\frac{y^4+y^2*sen(2ln(y))+y}{(arctan(2ln(y))*y+y^2*cos(2ln(y)))}$
a questo punto ho pensato di raccogliere il termine di grado minore sopra e sotto, però gli argomenti di seno e coseno con sono infiniti... qualche idea su come procedere?
Sto iniziando adesso a vedere i limiti e il 28 ho il primo parziale di analisi (lavorare e studiare assieme è atroce, e ovviamente non ce la farò mai a prepararmi dignitosamente
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Risposte
Dovresti sapere che il limite di un prodotto in cui un termine è infinitesimo (ha limite zero) e uno limitato (come seno e coseno) porta ad una funzione infinitesima (ed è una cosa anche abbastanza semplice da mostrare). Questo implica che prodotti del tipo $y^n\cdot\sin(...),\ y^n\cdot\cos(...)$ si comportino come $y^n$.
Innanzitutto grazie per la risposta.
Si avrei dovuto saperlo senz'altro
Tuttavia sto notando una cosa strana, e probabilmente è dovuta a qualche errore che ho fatto io nel cambiare variabile.
Mentre il limite originale, secondo wolframalpha http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eo4nkesf0p (trovo che sia molto utile per verifiche dei risultati, non avendo altre possibilità di confronto), tende a infinito, quello con la variabile cambiata tende a $-pi/2$ (non riesco a creare la pagina di condivisione ma l'url con la query è questo http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 29+%28%28y^4%29%2B%28y^2*sen%282lny%29%29%2B%28y%29%29%2F%28%28arctan%282lny%29*y%29%2B%28y^2*cos%282lny%29%29%29).
Raccogliendo nell'originale $e^(2x)$ sopra e sotto però, si ha
$ lim_{x\to -\infty}\frac{1+(sen(x))/e^x+e^(-3/2x)}{(arctanx)*e^(-3/2x)+(cos(x)/e^x)} = 1/0 = \infty $
non riesco a capire cosa sto sbagliando
Si avrei dovuto saperlo senz'altro
Tuttavia sto notando una cosa strana, e probabilmente è dovuta a qualche errore che ho fatto io nel cambiare variabile.
Mentre il limite originale, secondo wolframalpha http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eo4nkesf0p (trovo che sia molto utile per verifiche dei risultati, non avendo altre possibilità di confronto), tende a infinito, quello con la variabile cambiata tende a $-pi/2$ (non riesco a creare la pagina di condivisione ma l'url con la query è questo http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 29+%28%28y^4%29%2B%28y^2*sen%282lny%29%29%2B%28y%29%29%2F%28%28arctan%282lny%29*y%29%2B%28y^2*cos%282lny%29%29%29).
Raccogliendo nell'originale $e^(2x)$ sopra e sotto però, si ha
$ lim_{x\to -\infty}\frac{1+(sen(x))/e^x+e^(-3/2x)}{(arctanx)*e^(-3/2x)+(cos(x)/e^x)} = 1/0 = \infty $
non riesco a capire cosa sto sbagliando
Ti faccio presente che, ad esempio
$$\lim_{x\to -\infty}\frac{\sin x}{e^{x}}=\lim_{x\to-\infty} e^{-x}\sin x$$
che non esiste, dal momento che $\lim_{x\to-\infty} e^{-x}=+\infty$ e il limite del seno non è definito. Per cui questo procedimento di "raccoglimento" non va bene. Va bene invece anche in questo caso ragionare sui termini di ordine minore: visto che funzioni infinitesime mangiano le funzioni seno e coseno, puoi riscrivere il limite come
$$\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{2x}+e^{x/2}}{e^{x/2}\cdot\arctan x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{x/2}}{e^{x/2}\cdot\arctan x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\arctan x}=-\frac{2}{\pi}$$
$$\lim_{x\to -\infty}\frac{\sin x}{e^{x}}=\lim_{x\to-\infty} e^{-x}\sin x$$
che non esiste, dal momento che $\lim_{x\to-\infty} e^{-x}=+\infty$ e il limite del seno non è definito. Per cui questo procedimento di "raccoglimento" non va bene. Va bene invece anche in questo caso ragionare sui termini di ordine minore: visto che funzioni infinitesime mangiano le funzioni seno e coseno, puoi riscrivere il limite come
$$\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{2x}+e^{x/2}}{e^{x/2}\cdot\arctan x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{x/2}}{e^{x/2}\cdot\arctan x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\arctan x}=-\frac{2}{\pi}$$
Ok grazie per la spiegazione, confronto con libri e appunti e ci ragiono
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