Difficolta' con equazione differenziale
ciao mi potete aiutare con questa?
(y^2)y' + 2xy = (x^2)y'
l'ho ricondotta a una forma differenziale lineare ma purtroppo non posso esprimere x in funzione di y perche ho un termine in x^2
e lo stesso dicasi per la y in funzione di x
per il resto non ho un'altra idea...mi potete aiutare..grazie!
(y^2)y' + 2xy = (x^2)y'
l'ho ricondotta a una forma differenziale lineare ma purtroppo non posso esprimere x in funzione di y perche ho un termine in x^2
e lo stesso dicasi per la y in funzione di x
per il resto non ho un'altra idea...mi potete aiutare..grazie!
Risposte
...niente?
Prova a scrivere la forma differenziale lineare a cui ti sei ricondotto.
L'equazione si puo' scrivere cosi':
(1) $2xydx+(y^2-x^2)dy=0$
che e' del tipo $X(x,y)dx+Y(x,y)dy=0$
Il primo membro non e' un differenziale esatto in quanto non e' soddisfatta
la condizione $(delX)/(dely)=(delY)/(delx)$ .In certi casi tuttavia e' possibile
ricondursi a questa situazione moltiplicando il primo membro della (1) per una
particolare funzione detta fattore integrante .
Nel nostro caso tale fattore e' $1/(y^2)$ [la ricerca di tale funzione si trova su
tutti i libri di analisi e non la riporto].
In tal modo la (1) diventa :
$(2x)/ydx+(1-(x^2)/(y^2))dy=0$ ed e' facile vedere che adesso il primo membro
e' il diff.esatto di una funzione che indicheremo con U(x,y).
Deve essere dunque:
$(delU)/(delx)=(2x)/y$ ed integrando:
(2) $U=(x^2)/y+a(y)$ , con a(y) funzione nella sola y da determinare.
Derivando rispetto ad y ne segue l'eguaglianza:
$-(x^2)/(y^2)+a'(y)=1-(x^2)/(y^2)$ da cui $a'(y)=1->a(y)=y$
Pertanto ,sostituendo in (2),si ha :
$U=(x^2)/y+y$
In definitiva le curve integrali sono le curve:
$(x^2)/y+y=C$ [C=costante arbitraria],ovvero
le circonferenze del fascio:
$x^2+y^2-Cy=0$
E' da notare che a tale risultato sfugge la ovvia soluzione $y=0$.Penso si tratti
di un integrale singolare.
karl
(1) $2xydx+(y^2-x^2)dy=0$
che e' del tipo $X(x,y)dx+Y(x,y)dy=0$
Il primo membro non e' un differenziale esatto in quanto non e' soddisfatta
la condizione $(delX)/(dely)=(delY)/(delx)$ .In certi casi tuttavia e' possibile
ricondursi a questa situazione moltiplicando il primo membro della (1) per una
particolare funzione detta fattore integrante .
Nel nostro caso tale fattore e' $1/(y^2)$ [la ricerca di tale funzione si trova su
tutti i libri di analisi e non la riporto].
In tal modo la (1) diventa :
$(2x)/ydx+(1-(x^2)/(y^2))dy=0$ ed e' facile vedere che adesso il primo membro
e' il diff.esatto di una funzione che indicheremo con U(x,y).
Deve essere dunque:
$(delU)/(delx)=(2x)/y$ ed integrando:
(2) $U=(x^2)/y+a(y)$ , con a(y) funzione nella sola y da determinare.
Derivando rispetto ad y ne segue l'eguaglianza:
$-(x^2)/(y^2)+a'(y)=1-(x^2)/(y^2)$ da cui $a'(y)=1->a(y)=y$
Pertanto ,sostituendo in (2),si ha :
$U=(x^2)/y+y$
In definitiva le curve integrali sono le curve:
$(x^2)/y+y=C$ [C=costante arbitraria],ovvero
le circonferenze del fascio:
$x^2+y^2-Cy=0$
E' da notare che a tale risultato sfugge la ovvia soluzione $y=0$.Penso si tratti
di un integrale singolare.
karl
grazie mille...purtroppo non conoscevo l'esistenza del fattore integrante...andro' subito a cercarlo...grazie ancora!
scusa siccome non lo trovo mi potresti postare questo metodo?grazie
Riporto solo i risultati,dato che la teoria completa e' lunga da scrivere.
Sia Xdx+Ydy la forma considerata e $mu$ il fattore integrante incognito.
Vi sono due casi nei quali il fattore integrante e' facile da trovare.
a)Supponiamo che l'espressione $1/Y((delX)/(dely)-(delY)/(delx))$ sia
uguale ad F(x) ,cioe' sia funzione della sola x.In tal caso il fattore cercato
si ottiene risolvendo l'equazione [ a variabili separabili] $1/(mu)(dmu)/(dx)=F(x)$
b)Analogamente, supponiamo che l'espressione $1/X((delX)/(dely)-(delY)/(delx))$ sia
uguale a G(y) ,cioe' sia funzione della sola y.In tal caso il fattore cercato
si ottiene risolvendo l'equazione [ a variabili separabili ] $-1/(mu)(dmu)/(dy)=G(y)$
Nel caso nostro vale la (b).Infatti e':
$1/X((delX)/(dely)-(delY)/(delx))=1/(2xy)(2x+2x)=2/y$ e pertanto si ha:
$-1/(mu)(dmu)/(dy)=2/y$ da cui si ricava appunto $mu=1/(y^2)$
Se questo metodo ti riesce difficile puoi ,nel caso in esame,far uso di un altro
modo di cui mi sono accorto dopo.
Essendo $2xydx+(y^2-x^2)dy=0->(dy)/(dx)=(2xy)/(x^2-y^2)$ omogenea rispetto ai coefficienti,si puo' tentare di risolverla con la posizione
(1) $y=tx$ con t funzione di x da trovare
Derivando rispetto ad x ,risulta:
$y'=t+xt'$ e quindi la nostra equazione diventa:
$t+xt'=(2t)/(1-t^2)$, ovvero $(1-t^2)/(t(1+t^2))dt=(dx)/x$
Da qui e' possibile ricavare la t(x) da sostituire poi nella (1).
karl
Sia Xdx+Ydy la forma considerata e $mu$ il fattore integrante incognito.
Vi sono due casi nei quali il fattore integrante e' facile da trovare.
a)Supponiamo che l'espressione $1/Y((delX)/(dely)-(delY)/(delx))$ sia
uguale ad F(x) ,cioe' sia funzione della sola x.In tal caso il fattore cercato
si ottiene risolvendo l'equazione [ a variabili separabili] $1/(mu)(dmu)/(dx)=F(x)$
b)Analogamente, supponiamo che l'espressione $1/X((delX)/(dely)-(delY)/(delx))$ sia
uguale a G(y) ,cioe' sia funzione della sola y.In tal caso il fattore cercato
si ottiene risolvendo l'equazione [ a variabili separabili ] $-1/(mu)(dmu)/(dy)=G(y)$
Nel caso nostro vale la (b).Infatti e':
$1/X((delX)/(dely)-(delY)/(delx))=1/(2xy)(2x+2x)=2/y$ e pertanto si ha:
$-1/(mu)(dmu)/(dy)=2/y$ da cui si ricava appunto $mu=1/(y^2)$
Se questo metodo ti riesce difficile puoi ,nel caso in esame,far uso di un altro
modo di cui mi sono accorto dopo.
Essendo $2xydx+(y^2-x^2)dy=0->(dy)/(dx)=(2xy)/(x^2-y^2)$ omogenea rispetto ai coefficienti,si puo' tentare di risolverla con la posizione
(1) $y=tx$ con t funzione di x da trovare
Derivando rispetto ad x ,risulta:
$y'=t+xt'$ e quindi la nostra equazione diventa:
$t+xt'=(2t)/(1-t^2)$, ovvero $(1-t^2)/(t(1+t^2))dt=(dx)/x$
Da qui e' possibile ricavare la t(x) da sostituire poi nella (1).
karl
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