Differenziazione sotto il segno di integrale
Ho una funzione del tipo
[tex]$F(x;k)=\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik} \frac{e^{ix \xi} \phi(\xi)}{i\xi} d\xi$[/tex],
dove [tex]$x\in\mathbb{R}$[/tex], [tex]$k$[/tex] reale in un intorno di 0, ma diverso da 0. [tex]$\phi(\xi)$[/tex] e' una certa funzione olomorfa fuori dall'origine tale che, per [tex]$\Re\xi\to \pm \infty$[/tex], [tex]$\phi(\xi)$[/tex] e la sua derivata [tex]$\partial_\xi \phi(\xi)$[/tex] decadono come [tex]$|\Re \xi|^{-\alpha}$[/tex] e [tex]$|\Re \xi|^{-\alpha-1}$[/tex], rispettivamente, con [tex]$\alpha\in(0,1)$[/tex].
Voglio domostrare che, per [tex]$x\neq 0$[/tex], posso differenziare sotto il segno di integrale:
[tex]$\partial_x F(x;k) = \int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik} e^{ix \xi} \phi(\xi) d\xi$[/tex].
Numericamente e intuitivamente, mi sembra che questo risultato sia valido. Pero', il classico teorema sulla differenziazione sotto il segno di integrale non si puo' applicare. Infatti, se indichiamo l'integrando di [tex]F[/tex] con [tex]$f(x,\xi)$[/tex], questo teorema richiede che, per ogni [tex]$x\in\mathbb{R}$[/tex], [tex]$|\partial_x f(x,\xi)|\le G(\xi)$[/tex], dove la funzione [tex]G[/tex] e' integrabile. Nel nostro caso invece [tex]$\partial_x f(x,\xi) = e^{ix\xi} \phi(\xi)$[/tex], che decade solo come [tex]$|\Re \xi|^{-\alpha}$[/tex] e quindi non e' integrabile. Per dimostrare il risultato, noto che [tex]$e^{ix\xi}d\xi = (ix)^{-1} d e^{ix\xi}$[/tex]. Quindi posso integrare per parti:
[tex]$F(x;k)=\left[\frac{\phi(\xi)}{i\xi}(ix)^{-1} e^{ix\xi}\right]_{-\infty+ik}^{+\infty+ik}-\frac{1}{ix}\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik}e^{ix\xi}\partial_\xi \frac{\phi(\xi)}{i\xi}d\xi.$[/tex]
Il termine tra parentesi quadre si annulla e rimaniamo con
[tex]$F(x;k)=-\frac{1}{ix}\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik}e^{ix\xi}\left(\frac{\partial_\xi\phi(\xi)}{i\xi} - \frac{\phi(\xi)}{i\xi^2}\right)d\xi$[/tex].
Adesso possiamo applicare il teorema, visto che l'integrando decade come [tex]$(\Re \xi)^{-\alpha-2}$[/tex] invece che come [tex]$(\Re \xi)^{-\alpha-1}$[/tex]. Quindi otteniamo
[tex]$\partial_x F(x;k)=-\frac{1}{ix}\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik}e^{ix\xi}(\partial_\xi\phi(\xi) - \xi^{-1}\phi(\xi))d\xi$[/tex].
Senonche', integrando per parti il primo termine di questa espressione, e lasciando stare il secondo, ottengo (tralasciando il boundary term, che si annulla):
[tex]$\partial_x F(x;k)=\frac{1}{ix}\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik}\phi(\xi)\partial_\xi(e^{ix\xi}) d\xi + \frac{1}{ix}\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik}e^{ix\xi}\xi^{-1}\phi(\xi)d\xi$[/tex],
cioe'
[tex]$\partial_x F(x;k)=\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik} e^{ix \xi} \phi(\xi) d\xi + \frac{F(x;k)}{x}[/tex],
che e' diversa dall'espressione che volevo dimostrare, a causa della presenza del secondo termine. Dove ho sbagliato?
[tex]$F(x;k)=\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik} \frac{e^{ix \xi} \phi(\xi)}{i\xi} d\xi$[/tex],
dove [tex]$x\in\mathbb{R}$[/tex], [tex]$k$[/tex] reale in un intorno di 0, ma diverso da 0. [tex]$\phi(\xi)$[/tex] e' una certa funzione olomorfa fuori dall'origine tale che, per [tex]$\Re\xi\to \pm \infty$[/tex], [tex]$\phi(\xi)$[/tex] e la sua derivata [tex]$\partial_\xi \phi(\xi)$[/tex] decadono come [tex]$|\Re \xi|^{-\alpha}$[/tex] e [tex]$|\Re \xi|^{-\alpha-1}$[/tex], rispettivamente, con [tex]$\alpha\in(0,1)$[/tex].
Voglio domostrare che, per [tex]$x\neq 0$[/tex], posso differenziare sotto il segno di integrale:
[tex]$\partial_x F(x;k) = \int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik} e^{ix \xi} \phi(\xi) d\xi$[/tex].
Numericamente e intuitivamente, mi sembra che questo risultato sia valido. Pero', il classico teorema sulla differenziazione sotto il segno di integrale non si puo' applicare. Infatti, se indichiamo l'integrando di [tex]F[/tex] con [tex]$f(x,\xi)$[/tex], questo teorema richiede che, per ogni [tex]$x\in\mathbb{R}$[/tex], [tex]$|\partial_x f(x,\xi)|\le G(\xi)$[/tex], dove la funzione [tex]G[/tex] e' integrabile. Nel nostro caso invece [tex]$\partial_x f(x,\xi) = e^{ix\xi} \phi(\xi)$[/tex], che decade solo come [tex]$|\Re \xi|^{-\alpha}$[/tex] e quindi non e' integrabile. Per dimostrare il risultato, noto che [tex]$e^{ix\xi}d\xi = (ix)^{-1} d e^{ix\xi}$[/tex]. Quindi posso integrare per parti:
[tex]$F(x;k)=\left[\frac{\phi(\xi)}{i\xi}(ix)^{-1} e^{ix\xi}\right]_{-\infty+ik}^{+\infty+ik}-\frac{1}{ix}\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik}e^{ix\xi}\partial_\xi \frac{\phi(\xi)}{i\xi}d\xi.$[/tex]
Il termine tra parentesi quadre si annulla e rimaniamo con
[tex]$F(x;k)=-\frac{1}{ix}\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik}e^{ix\xi}\left(\frac{\partial_\xi\phi(\xi)}{i\xi} - \frac{\phi(\xi)}{i\xi^2}\right)d\xi$[/tex].
Adesso possiamo applicare il teorema, visto che l'integrando decade come [tex]$(\Re \xi)^{-\alpha-2}$[/tex] invece che come [tex]$(\Re \xi)^{-\alpha-1}$[/tex]. Quindi otteniamo
[tex]$\partial_x F(x;k)=-\frac{1}{ix}\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik}e^{ix\xi}(\partial_\xi\phi(\xi) - \xi^{-1}\phi(\xi))d\xi$[/tex].
Senonche', integrando per parti il primo termine di questa espressione, e lasciando stare il secondo, ottengo (tralasciando il boundary term, che si annulla):
[tex]$\partial_x F(x;k)=\frac{1}{ix}\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik}\phi(\xi)\partial_\xi(e^{ix\xi}) d\xi + \frac{1}{ix}\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik}e^{ix\xi}\xi^{-1}\phi(\xi)d\xi$[/tex],
cioe'
[tex]$\partial_x F(x;k)=\int_{-\infty+ik}^{+\infty+ik} e^{ix \xi} \phi(\xi) d\xi + \frac{F(x;k)}{x}[/tex],
che e' diversa dall'espressione che volevo dimostrare, a causa della presenza del secondo termine. Dove ho sbagliato?
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