Differenziali di ordine superiore al primo
buonasera a tutti. Sto preparando analisi 3 dal Pagani - Salsa
il differenziale di una funzione reale in più variabili viene definito in questo modo: sia
[tex]f: \mathbb{R}^n \supseteq A \rightarrow \mathbb{R}[/tex] , con [tex]A[/tex] aperto. Allora, se esiste [tex]a \in \mathbb{R}^2[/tex] tale che [tex]\forall h \in \mathbb{R}^2 t.c. f(x+h) \in A , f(x+h)-f(x)= + o(||h||^2)[/tex] , l'applicazione [tex]d(h)=[/tex] viene detta differenziale.
Si arriva poi a provare che il vettore [tex]a[/tex] non è altro che il gradiente della funzione, etc.
Il differenziale secondo viene definito in questo modo: supponendo di avere una funzione differenziabile con tutte le derivate differenziabili, si dice differenziale secondo l'applicazione [tex]d^2(f(x))=[/tex] dove [tex]dx[/tex] è il vettore incremento ed [tex]H[/tex] è l'hessiano.
Ora, che legame c'è tra differenziale secondo e funzione? Perchè vale la seguente [tex]f(x+h)-f(x)= \frac{1}{2} d^2(f(x))+o(||h||^2)[/tex] ???
il differenziale di una funzione reale in più variabili viene definito in questo modo: sia
[tex]f: \mathbb{R}^n \supseteq A \rightarrow \mathbb{R}[/tex] , con [tex]A[/tex] aperto. Allora, se esiste [tex]a \in \mathbb{R}^2[/tex] tale che [tex]\forall h \in \mathbb{R}^2 t.c. f(x+h) \in A , f(x+h)-f(x)=
Si arriva poi a provare che il vettore [tex]a[/tex] non è altro che il gradiente della funzione, etc.
Il differenziale secondo viene definito in questo modo: supponendo di avere una funzione differenziabile con tutte le derivate differenziabili, si dice differenziale secondo l'applicazione [tex]d^2(f(x))=
Ora, che legame c'è tra differenziale secondo e funzione? Perchè vale la seguente [tex]f(x+h)-f(x)= \frac{1}{2} d^2(f(x))+o(||h||^2)[/tex] ???
Risposte
Il legame è la formula di Taylor per funzioni di più vaiabili 
Come la derivata seconda per funzioni di una variabile aiuta ad ottenere una approssimazione migliore, così è anche per il differenziale secondo per funzioni a più variabili.
L'ultima formula che hai scritto potrebbe essere sbagliata. In generale $f(x+h)-f(x)=df(x)+frac{1}{2}d^2f(x)+o(||h||^2)$ , ed in genere per approssimazioni di ordine superiore si usano differenziali di ordine superire. La tua formula vale solamente per punti in cui il gradiente si annulla. Quindi studiati Taylor per più variabili.
Come la derivata seconda per funzioni di una variabile aiuta ad ottenere una approssimazione migliore, così è anche per il differenziale secondo per funzioni a più variabili. L'ultima formula che hai scritto potrebbe essere sbagliata. In generale $f(x+h)-f(x)=df(x)+frac{1}{2}d^2f(x)+o(||h||^2)$ , ed in genere per approssimazioni di ordine superiore si usano differenziali di ordine superire. La tua formula vale solamente per punti in cui il gradiente si annulla. Quindi studiati Taylor per più variabili.
"5mrkv":Anche questa formula è sbagliata, manca ogni riferimento all'incremento $h$ nel secondo membro.
In generale $f(x+h)-f(x)=df(x)+frac{1}{2}d^2f(x)+o(||h||^2)$[...]
@bestiedda: Suggerisco una ricerca sul forum perché ricordo che in passato se ne è parlato. Comunque 5mrkv ha sostanzialmente detto tutto, qui è questione di formula di Taylor in più variabili. Trovi informazioni ben scritte (IMHO) su questo argomento nel Pagani-Salsa, vol.I, capitolo "Calcolo differenziale 2".
Non ho capito perché è sbagliata.
Perchè, formalmente, [tex]$\text{d}^2 f(x)$[/tex] è una forma bilineare che opera sull'incremento vettoriale [tex]$h$[/tex].
Non ti seguo. Volendo citare il Pagani Salsa:
Hai ragione, il Pagani-Salsa usa omettere il riferimento all'incremento. Convenzioni di scrittura, in realtà. Una trattazione più "matematica" della questione prevederebbe una scrittura come la seguente:
$f(x+h)-f(x)=df(x)(h)+1/2d^2f(x)(h, h)+...+1/(k!)d^{k}f(x)(h...h) + o(||h||^k)$. (1)
Difatti, se $f$ è una funzione di un aperto $A$ di $RR^n$ a valori in $RR^m$, $df(x)$ è una applicazione lineare di $RR^n$ in $RR^m$: indichiamo con $L(RR^n; RR^m)$ lo spazio di tali applicazioni lineari. Abbiamo allora una applicazione
$df: A subset RR^n \to L(RR^n; RR^m)$ ;
e $f$ è differenziabile due volte precisamente quando questa applicazione è differenziabile una volta. Il differenziale del differenziale, però, è tale che $d(df)(x)$ è una applicazione lineare di $RR^n$ in $L(RR^n; L(RR^n; RR^m))$, lo spazio delle applicazioni lineari di $RR^n$ nelle applicazioni lineari di $RR^n$ in $RR^m$. Quest'ultimo spazio si identifica in modo canonico allo spazio delle applicazioni bilineari di $RR^n times RR^n$ in $RR^m$, e si scrive
$L(RR^n; L(RR^n; RR^m))=L(RR^n, RR^n; RR^m)$.
Così
$d^2f: A \subset RR^n \to L(RR^n, RR^n; RR^m)$,
e come puoi immaginare iterando il discorso si ha, se $f$ è differenziabile $k$ volte, una applicazione
$d^hf: A \subset RR^n \to L(RR^n \ldots RR^n; RR^m)$.
Perciò una formula di Taylor formalmente corretta dovrebbe avere un aspetto simile alla (1). Naturalmente, come dice Michael Spivak, notation so cumbersome invites abuse e per questo spesso si prendono scorciatoie come
$f(x+h)-f(x)=df(x)(h)+1/2d^2f(x)(h^2)+...+1/(k!)d^{k}f(x)(h^k) + o(||h||^k)$, (2)
oppure come la formula da te citata presente sul Pagani-Salsa. Per una trattazione relativamente semplice ma che metta bene in luce tutte queste sottigliezze puoi consultare Lang, Undergraduate analysis, capitolo "Derivatives in Vector Spaces".
$f(x+h)-f(x)=df(x)(h)+1/2d^2f(x)(h, h)+...+1/(k!)d^{k}f(x)(h...h) + o(||h||^k)$. (1)
Difatti, se $f$ è una funzione di un aperto $A$ di $RR^n$ a valori in $RR^m$, $df(x)$ è una applicazione lineare di $RR^n$ in $RR^m$: indichiamo con $L(RR^n; RR^m)$ lo spazio di tali applicazioni lineari. Abbiamo allora una applicazione
$df: A subset RR^n \to L(RR^n; RR^m)$ ;
e $f$ è differenziabile due volte precisamente quando questa applicazione è differenziabile una volta. Il differenziale del differenziale, però, è tale che $d(df)(x)$ è una applicazione lineare di $RR^n$ in $L(RR^n; L(RR^n; RR^m))$, lo spazio delle applicazioni lineari di $RR^n$ nelle applicazioni lineari di $RR^n$ in $RR^m$. Quest'ultimo spazio si identifica in modo canonico allo spazio delle applicazioni bilineari di $RR^n times RR^n$ in $RR^m$, e si scrive
$L(RR^n; L(RR^n; RR^m))=L(RR^n, RR^n; RR^m)$.
Così
$d^2f: A \subset RR^n \to L(RR^n, RR^n; RR^m)$,
e come puoi immaginare iterando il discorso si ha, se $f$ è differenziabile $k$ volte, una applicazione
$d^hf: A \subset RR^n \to L(RR^n \ldots RR^n; RR^m)$.
Perciò una formula di Taylor formalmente corretta dovrebbe avere un aspetto simile alla (1). Naturalmente, come dice Michael Spivak, notation so cumbersome invites abuse e per questo spesso si prendono scorciatoie come
$f(x+h)-f(x)=df(x)(h)+1/2d^2f(x)(h^2)+...+1/(k!)d^{k}f(x)(h^k) + o(||h||^k)$, (2)
oppure come la formula da te citata presente sul Pagani-Salsa. Per una trattazione relativamente semplice ma che metta bene in luce tutte queste sottigliezze puoi consultare Lang, Undergraduate analysis, capitolo "Derivatives in Vector Spaces".
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