Differenziali di funzioni definite su prodotti di normati

[Lemniscata1]

Salve a tutti.
Ho avuto problemi nella dimostrazione del seguente fatto:
"Sia [tex]$F : X \times Y \supseteq \Omega \to Z$[/tex], [tex]$X,Y,Z$[/tex] spazi vettoriali normati, [tex]$(x_0,y_0) \in \text{Int}(\Omega)$[/tex].
Allora [tex]$F$[/tex] è differenziabile in [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] se e solo se esistono [tex]$\text{D}_xF(x_0,y_0), \text{D}_yF(x_0,y_0)$[/tex] e si ha la relazione [tex]$F^\prime (x_0,y_0)[h,k]=\text{D}_x F(x_0,y_0)\ h + \text{D}_yF(x_0,y_0)\ k$[/tex] [tex]$\forall (h,k) \in X \times Y$[/tex]".

S'intende che [tex]$\text{D}_xF(x_0,y_0)$[/tex] è il differenziale in [tex]$x_0$[/tex] della funzione [tex]$x \mapsto F(x,y_0)$[/tex] e similmente [tex]$\text{D}_yF(x_0,y_0)$[/tex] è il differenziale in [tex]$y_0$[/tex] della funzione [tex]$y \mapsto F(x_0,y)$[/tex].

Provo ad esporre il pezzo di dimostrazione che sono riuscito a fare.

Dim.:

Necessità: Supponiamo che [tex]$F$[/tex] sia differenziabile in [tex]$(x_0,y_0)$[/tex]. Allora per definizione di differenziale si ha che [tex]$F^\prime (x_0,y_0) \in \mathcal{L}(X \times Y; Z)$[/tex] ossia esso è un operatore lineare e continuo tra gli spazi normati [tex]$X \times Y$[/tex] e [tex]$Z$[/tex] (s'intende che [tex]$X \times Y$[/tex] è normato con la norma [tex]$\lVert (x,y)\rVert_{X \times Y}:=\lVert x\rVert_X +\lVert y\rVert_Y$[/tex]), e per linearità si ha che [tex]$F^\prime (x_0,y_0)[h,k]=F^\prime (x_0,y_0)[h,0]+F^\prime (x_0,y_0)[0,k]$[/tex].
Pertanto dimostro che le due funzioni (necessariamente lineari e continue perché [tex]$F^\prime$[/tex] lo è) [tex]$h\mapsto F^\prime (x_0,y_0)[h,0] \in \mathcal{L}(X;Z)$[/tex] e [tex]$k\mapsto F^\prime (x_0,y_0)[0,k] \in \mathcal{L}(Y;Z)$[/tex] coincidono rispettivamente con [tex]$\text{D}_xF(x_0,y_0)$[/tex] e con [tex]$\text{D}_yF(x_0,y_0)$[/tex]. Per l'unicità del differenziale basta che dimostro che le due funzioni indotte da [tex]$F^\prime$[/tex] hanno la proprietà che definisce il differenziale.

Faccio solo il caso del differenziale in [tex]$x_0$[/tex] perchè l'altro mi pare analogo.
Devo mostrare che [tex]$\lim_{x\to x_0} \tfrac{\lVert F(x,y_0)-F(x_0,y_0)-F^\prime (x_0,y_0)[x-x_0,0]\rVert_Z}{\lVert x-x_0\rVert_X}=0$[/tex].
Ora posso scrivere [tex]$(x-x_0,0)=(x,y_0)-(x_0,y_0)$[/tex] e anche [tex]$\lVert x-x_0\rVert_X=\lVert (x-x_0,y_0-y_0)\rVert_{X\times Y}=\lVert (x,y_0)-(x_0,y_0)\rVert_{X\times Y}$[/tex] quindi mi riconduco a mostrare che:

[tex]$\lim_{x\times x_0} \frac{\lVert F(x,y_0)-F(x_0,y_0)-F^\prime (x_0,y_0)[(x,y_0)-(x_0,y_0)]\rVert_Z}{\lVert (x,y_0)-(x_0,y_0)\rVert_{X\times Y}}=0$[/tex].

Ma questo limite è il limite che definisce il differenziale [tex]$F^\prime (x_0,y_0)$[/tex], cioè [tex]$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \tfrac{\lVert F(x,y)-F(x_0,y_0)-F^\prime (x_0,y_0)[(x,y)-(x_0,y_0)]\rVert_Z}{\lVert (x,y)-(x_0,y_0)\rVert_{X\times Y}}$[/tex] ristretto ai punti con ordinata [tex]$y_0$[/tex] fissata.
Dunque dato che il differenziale esiste per ipotesi, l'ultimo limite esiste ed è nullo, e dunque il limite “ristretto” prima considerato deve necessariamente coincidere con esso.

Dunque la tesi è provata.

Sufficienza: Se [tex]$\exists \text{D}_x F(x_0,y_0) \in \mathcal{L}(X;Z), \text{D}_yF(x_0,y_0) \in \mathcal{L}(Y;Z)$[/tex], allora definisco l'operatore [tex]$A: X\times Y \to Z$[/tex] con la posizione [tex]$A[h,k]:=\text{D}_xF(x_0,y_0)\ h + \text{D}_yF(x_0,y_0)\ k$[/tex] [tex]$\forall (h,k) \in X \times Y$[/tex].

Tralascio la dimostrazione che [tex]$A \in \mathcal{L}(X\times Y;Z)$[/tex] che mi pare abbastanza facile usando la linearità e continuità di [tex]$\text{D}_xF(x_0,y_0)$[/tex] e [tex]$\text{D}_yF(x_0,y_0)$[/tex].

E ora il punto cruciale, ossia dimostrare da ultimo che [tex]$A$[/tex] coincide con [tex]$F^\prime (x_0,y_0)$[/tex].
Per farlo, come prima dimostro che [tex]$A$[/tex] verifica la proprietà che definisce il differenziale e poi concludo con l'unicità.

Devo allora far vedere che:

[tex]$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \frac{\lVert F(x,y)-F(x_0,y_0)-A[(x,y)-(x_0,y_0)]\rVert_Z}{\lVert (x,y)-(x_0,y_0)\rVert_{X\times Y}}=$[/tex]
[tex]$=\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \frac{\lVert F(x,y)-F(x_0,y_0)-\text{D}_x F(x_0,y_0)[x-x_0] -\text{D}_yF(x_0,y_0)[y-y_0]\rVert_Z}{\lVert (x-x_0,y-y_0)\rVert_{X\times Y}}=$[/tex]
[tex]$=\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \frac{\lVert F(x,y)-F(x_0,y_0)-\text{D}_xF(x_0,y_0)[x-x_0] -\text{D}_yF(x_0,y_0)[y-y_0]\rVert_Z}{\lVert x-x_0\rVert_X+\lVert y-y_0\rVert_Y} =$[/tex]
[tex]$=0$[/tex]

Ora la mia idea era quella di usare delle maggiorazioni infinitesime opportune di quest'ultima espressione che coinvolgessero le definizioni dei due differenziali [tex]$\text{D}_xF(x_0,y_0)$[/tex] e [tex]$\text{D}_yF(x_0,y_0)$[/tex]. Aggiungendo e togliendo i termini che interessano, ed usando poi la disuguaglianza triangolare, si ha:

[tex]$\frac{\lVert F(x,y)-F(x_0,y_0)-\text{D}_xF(x_0,y_0)[x-x_0] -\text{D}_yF(x_0,y_0)[y-y_0]\rVert_Z}{\lVert x-x_0\rVert_X+\lVert y-y_0\rVert_Y} \leq$[/tex]
[tex]$\leq \frac{\lVert F(x,y)-F(x,y_0)-\text{D}_yF(x_0,y_0)[y-y_0]\rVert_Z+\lVert F(x,y_0)-F(x_0,y_0)-\text{D}_xF(x_0,y_0)[x-x_0]\rVert_Z}{\lVert x-x_0\rVert_X+\lVert y-y_0\rVert_Y}$[/tex].

Ora poiché [tex]$\lVert x-x_0\rVert_X+\lVert y-y_0\rVert_Y\geq \max \{\lVert x-x_0\rVert_X, \lVert y-y_0\rVert_Y\}$[/tex], si ha anche che la precedente espressione è minore o uguale di

[tex]$\frac{\lVert F(x,y)-F(x,y_0)-\text{D}_yF(x_0,y_0)[y-y_0]\rVert_Z}{\lVert x-x_0\rVert_X+\lVert y-y_0\rVert_Y}+\frac{\lVert F(x,y_0)-F(x_0,y_0)-\text{D}_xF(x_0,y_0)[x-x_0]\rVert_Z}{\lVert x-x_0\rVert_X}$[/tex].

Come prima detto, l'ultimo addendo di questa espressione è infinitesimo per [tex]$(x,y)\to (x_0,y_0)$[/tex], in quanto non dipende da [tex]$y$[/tex]. Rivolgo dunque l'attenzione alla maggiorazione del primo addendo. Usando ancora la disuguaglianza triangolare con lo stesso schema di prima si ha:

[tex]$\frac{\lVert F(x,y)-F(x,y_0)-\text{D}_yF(x_0,y_0)[y-y_0]\rVert_Z}{\lVert x-x_0\rVert_X+\lVert y-y_0\rVert_Y} \leq $[/tex]
[tex]$\leq \frac{\lVert F(x,y)-F(x,y_0)-F(x_0,y)+F(x_0,y_0)+F(x_0,y)-F(x_0,y_0)-\text{D}_yF(x_0,y_0)[y-y_0]\rVert_Z}{\lVert x-x_0\rVert_X+\lVert y-y_0\rVert_Y} \leq$[/tex]
[tex]$\leq \frac{\lVert F(x,y)-F(x,y_0)-F(x_0,y)+F(x_0,y_0)\rVert_Z}{\lVert x-x_0\rVert_X+\lVert y-y_0\rVert_Y} +\frac{\lVert F(x_0,y)-F(x_0,y_0)-\text{D}_yF(x_0,y_0)[y-y_0]\rVert_Z}{\lVert y-y_0\rVert_Y}$[/tex].

Come prima, l'ultimo addendo di questa espressione è infinitesimo per [tex]$(x,y)\to (x_0,y_0)$[/tex], in quanto non dipende da [tex]$x$[/tex]. Rivolgo dunque l'attenzione al primo addendo.

Ed è qui che c'è il problema: come faccio a dimostrare che anche il primo addendo è infinitesimo per [tex]$(x,y)\to (x_0,y_0)$[/tex], completando così la dimostrazione?

Ringrazio già quanti vorranno aiutarmi.
Ovviamente, ditemi anche se c'è qualcosa che non va nella parte di dimostrazione già fatta!!

[dissonance]

Ciao Lemniscata, benvenuto nel forum. Io proverei a semplificare la trattazione, tu ti dilunghi troppo nei dettagli e perdi il filo del discorso.

Invece io partirei con un risultato generale di decomposizione di applicazioni lineari: se $A\inL(X\times Y, Z)$, si può scrivere $A(h, k)=A(h,0)+A(0,k)=A_1(h)+A_2(k)$. In questa maniera ogni operatore lineare $A$, definito in $X\timesY$ viene identificato con una coppia $A_1\in L(X, Z), A_2\in L(Y,Z)$. Viceversa, ad ogni coppia $A_1\in L(X,Z), A_2\in L(Y,Z)$ corrisponde un unico operatore $A\in L(X\timesY,Z)$ mediante la formula di sopra.

Una volta mostrato questo, dimostrare il tuo teorema mi pare diventi molto più semplice.

[dissonance]

Ah no aspetta aspetta. Mi sa che non riesci a mostrare la sufficienza, perché la sufficienza è falsa. Ci vuole una ipotesi di continuità sui differenziali parziali, per avere la differenziabilità. Prendi per esempio una funzione $f: RR^2 \to RR$ derivabile parzialmente ma non differenziabile. Se invece $f$ è derivabile parzialmente con le derivate parziali continue allora è differenziabile.

P.S.: Ho controllato e mi sembra corretto. Riferimento - Lang Undergraduate analysis, [XVII, §7].

[Lemniscata1]

Ciao Dissonance, grazie per l'accoglienza e per il tuo contributo illuminante.
In effetti per dimostrare la sufficienza non serve far vedere che $A$ soddisfa la proprietà definente il differenziale $F'(x_0,y_0)$, in quanto già nella parte della necessità avevo fatto vedere che se il differenziale esiste necessariamente si comporta come la "somma" dei due differenziali parziali $D_xF(x_0,y_0)$ e $D_yF(x_0,y_0)$; dunque se questi ultimi esistono per ipotesi, avrò che pure la loro "somma" esiste ed è il differenziale $F'(x_0,y_0)$, giusto?

Invece, non riesco a capire il senso del tuo secondo messaggio, dove dici che la sufficienza è falsa senza supporre la continuità dei differenziali parziali. I due differenziali parziali valutati in $(x_0,y_0)$ sono già continui essendo dei differenziali, per definizione! E l'esempio che mi hai fatto non capisco come risolva la questione: c'è differenza tra derivate parziali e differenziali parziali, in quanto, nel caso di una funzione $f: RR^2->RR$, ad esempio $f(x,y)=x+y$, si ha che la derivata parziale rispetto ad x è 1, e anche rispetto ad y, mentre i differenziali parziali, proprio dal fatto che abbiamo mostrato prima, sono le funzioni lineari (e necessariamente continue) identiche di $RR$ in $RR$! Senza dubbio ho interpretato male le tue parole, quindi ti pregherei di spiegarti un po' meglio sul senso del tuo ultimo messaggio.

Grazie ancora di tutto, ciao!

[dissonance]

Si, sul primo punto la puoi anche vedere così.

Per quanto riguarda il secondo, prendiamo una funzione $f:X \to Y$ dove $X,Y$ sono spazi normati. Se essa è differenziabile ovunque, per ogni $x\in X$ esiste una e una sola applicazione lineare continua $Df(x)\in L(X, Y)$. E' definita allora una applicazione $x \mapsto Df(x)$ tra $X$ e $L(X,Y)$: questa applicazione non è, in genere, lineare né ha obbligo di essere continua.

Facciamo un esempio. Sia $f: RR\toRR$ l'applicazione $f(x)={(x^2sin(1/x), x!=0),(0, x=0):}$: essa è differenziabile ovunque. In questo caso $Df(x)$ è una applicazione lineare $RR\toRR$, quindi si identifica in modo naturale con il numero $f'(x)$, ed è facile verificare che $f'$ NON è una funzione continua della $x$.

Se questo punto è chiaro, puoi anche fabbricare dei controesempi alla tua proposizione prendendo funzioni $RR^2 \to RR$ derivabili ma non di classe $C^1$ e non differenziabili.

[Lemniscata1]

Ho in parte capito quello che vuoi dire: è inevitabile che se la funzione non è differenziabile in qualche punto $(x_0,y_0)$ allora non vale la decomposizione della proposizione; lo dice la stessa proposizione! Tuttavia il tuo discorso sulla continuità dell'applicazione differenziale mi pare esuli dal target della proposizione, in quanto essa afferma un risultato evidentemente puntuale. Sinceramente non riesco a vedere un collegamento tra le due cose, dato che da una parte si guarda all'ente differenziale come funzione nella sua generalità, dall'altra si parla di differenziabilità in un particolare punto $(x_0,y_0)$. Se ti va rispondimi, le tue considerazioni sono ben accette!

[dissonance]

Io non ho mai parlato di funzioni non differenziabili in qualche punto. Una funzione può essere differenziabile, ma non con continuità; una funzione può essere differenziabile parzialmente e non essere differenziabile.

Hai mai studiato l'analisi di funzioni di più variabili reali? Un fatto noto è questo:

Sia $Omega$ un aperto di $RR^n$, $f: \Omega\to RR$. Se $f$ è differenziabile in $Omega$ allora essa è derivabile parzialmente, e non vale il viceversa a meno che le derivate parziali siano continue. Ad esempio la funzione $RR^2\toRR$

$f(x, y)={(x^3/(x^2+y^2), (x, y)!=(0,0)), (0, (x, y)=(0,0)):}$

è derivabile parzialmente in ogni punto di $RR^2$ ma NON è differenziabile nell'origine.

Questo è un controesempio valido per la tua proposizione. In questo caso i due spazi $X, Y$ sono entrambi $RR$, la funzione $f$ è differenziabile parzialmente in $(0,0)$ (per funzioni di una variabile reale, la differenziabilità coincide con l'usuale derivabilità) ma $f$ non è differenziabile.

Per studiare queste cose ad un livello non troppo astruso consiglio il libro di Lang Undergraduate analysis, capitolo "Derivatives in vector spaces": il settimo paragrafo parla proprio della relazione tra differenziali e differenziali parziali.

[gugo82]

@Lemniscata: Benvenuto nel foro.
Grazie per aver scritto tutto in MathML, anche perchè non eri obbligato.

Purtroppo, però, con il MathML abbiamo qualche problema e formule troppo elaborate rendono lenta la visualizzazione delle pagine con alcuni browser; pertanto mi sono permesso di passare le formule del tuo primo post in TeX.
Controlla che niente sia andato perduto.

Buona permanenza su matematicamente.it/forum.

[Lemniscata1]

Sì in effetti così è velocissimo, grazie mille Gugo82!
Se sapessi scrivere anch'io in TeX, lo farei! C'è qualche guida veloce solo per imparare a scrivere le formule in TeX qui sul forum per caso?

Quanto a Dissonance, ho riflettuto sul tuo ultimo messaggio e hai ovviamente ragione. Purtroppo nonostante mi stia impegnando da qualche mese per capire Analisi II, come hai constatato non ho quella padronanza e quell'elasticità mentale tale da riuscire facilmente a capire che certi enunciati sono errati.
Mi ostinavo a vedere i differenziali parziali sempre come enti molto diversi dalle derivate parziali, e pensavo che in particolare la loro esistenza desse sempre proprietà più forti della semplice esistenza delle derivate parziali, che è noto da sole non comportano la differenziabilità totale della funzione. Ma questa diversità cade con domini 1-dimensionali, dove derivate parziali e differenziali parziali vengono sostanzialmente identificati e di fatto le une non possono esistere senza gli altri. Dunque se una funzione $f: RR^2->RR$ è parzialmente derivabile ma non differenziabile totalmente, è anche parzialmente differenziabile ma non differenziabile totalmente, dunque la sufficienza della nostra proposizione è necessariamente falsa!

Detto ciò, allora mi rimane un ultimo dubbio: se la sufficienza è falsa, allora anche la dimostrazione che ne avevo dato è sbagliata! Dov'è l'errore? Forse bisognava veramente controllare, come stavo cercando (col senno di poi inutilmente) di fare nel mio primo tentativo, che l'operatore somma dei differenziali parziali oltre ad essere formalmente uguale all'ipotetico differenziale di cui dovevo provare l'esistenza, godesse effettivamente della proprietà data dalla sua definizione? In altre parole, perché riuscire a costruire un operatore che si comporta come si comporterebbe il differenziale se esistesse, non assicura l'esistenza del differenziale?