Differenziale...questo sconosciuto :)
salve, sto preparando l'orale di analisi ma nn riesco a capire una cosa:
nell'utilizzo del metodo della sostituzione per il calcolo degli integrali indefiniti, tra i vari passaggi che si fanno per trasformare la funzione e scriverla in dipendenza di un'altra variabile (chiamiamola T), viene trasformato anche l'elemento "dx". ho visto che ci sono vari metodi (che in fondo sono solamente modi diversi di scrivere gli stessi passaggi) per farlo:
personalmente per trovarmi il corrispettivo di "dx" rispetto a T non faccio altro che, dopo essermi trovato x in funzione di T, calcolarne la derivata e porre un bel "dT" accanto a questa.
il metodo chiaramente funziona (ma va?) ma se mi dovessero chiedere il perche' credo che farei una bellissima scena muta.
il fatto e' che il significato di "dx" (sebbene sappia esattamente i casi in cui va messo e in cui no) mi e' del tutto oscuro, conseguentemente non ho capito ne' il sopracitato metodo di sostituzione per il calcolo degli integrali, ne' gli altri metodi che vengono utilizzati invece per risolvere le equazioni differenziali.
mi piacerebbe molto che qualcuno potesse spiegarmi (se possibile) il senso di questo misterioso (e inutile?) segno.
grazie mille
marco
p.s. ho dato anche un'occhiata alla sezione "appunti di analisi" ma non sono riuscito a capirlo lo stesso.
Modificato da - ocram il 04/06/2004 19:21:49
nell'utilizzo del metodo della sostituzione per il calcolo degli integrali indefiniti, tra i vari passaggi che si fanno per trasformare la funzione e scriverla in dipendenza di un'altra variabile (chiamiamola T), viene trasformato anche l'elemento "dx". ho visto che ci sono vari metodi (che in fondo sono solamente modi diversi di scrivere gli stessi passaggi) per farlo:
personalmente per trovarmi il corrispettivo di "dx" rispetto a T non faccio altro che, dopo essermi trovato x in funzione di T, calcolarne la derivata e porre un bel "dT" accanto a questa.
il metodo chiaramente funziona (ma va?) ma se mi dovessero chiedere il perche' credo che farei una bellissima scena muta.
il fatto e' che il significato di "dx" (sebbene sappia esattamente i casi in cui va messo e in cui no) mi e' del tutto oscuro, conseguentemente non ho capito ne' il sopracitato metodo di sostituzione per il calcolo degli integrali, ne' gli altri metodi che vengono utilizzati invece per risolvere le equazioni differenziali.
mi piacerebbe molto che qualcuno potesse spiegarmi (se possibile) il senso di questo misterioso (e inutile?) segno.
grazie mille
marco
p.s. ho dato anche un'occhiata alla sezione "appunti di analisi" ma non sono riuscito a capirlo lo stesso.
Modificato da - ocram il 04/06/2004 19:21:49
Risposte
Il segno dx posto dopo la funzione integranda, dal punto di vista strettamente matematico non significa nulla; sta solo ad indicare che la variabile di integrazione e' x. Allora uno si chiede: perche' scrivo dx? Se uno pensa che il simbolo di integrale e' una somma, uno deve sommare f(x) (altezza) moltiplicata per una base piccolina, cioe' dx. E quindi ottiene, se la base e' vicinissima a 0, l'area sotto il grafico di f. Ripeto, e' solo una notazione per ricordare il significato di integrale. Risulta utile pero' quando uno fa la sostituzione: se chiamo x=x(t), con t nuova variabile, allora dx/dt=x'(t), da cui, formalmente, dx=x'(t)dt, per cui nell'integrale uno mette, al posto di dx, x'(t)dt. E' un trucco per ricordarsi il Teorema di sostituzione, ma funziona, poiche' e' esattamente l'enunciato del Teorema di sostituzione!!
Questo modo di giocare con i differenziali come se fossero numeri o funzioni, oggi non ha senso, non e' fondato. Pero' sono utili per congetturare il risultato. Mi spiego: se io devo calcolare l'integrale di f(x) in dx, so che devo sommare f(x)dx, dove f(x) e' l'altezza e dx e' una base infinitesima. Se faccio una sostituzione x=x(t), allora, e' dx=x'(t)dt: basta fare il disegnino con il triangolino..., quindi dovro' sommare f(x(t)) (nuova altezza) per x'(t)dt (nuova piccola base).
Attenzione: i dx servono solo a congetturare, o a fare conti fuori dalle righe: in una vera dimostrazione sono inaccettabili, ma fino a che uno sta cercando di congetturare cosa potrebbe venire una certa cosa, allora tutto e' permesso...
Ciao, Luca.
Questo modo di giocare con i differenziali come se fossero numeri o funzioni, oggi non ha senso, non e' fondato. Pero' sono utili per congetturare il risultato. Mi spiego: se io devo calcolare l'integrale di f(x) in dx, so che devo sommare f(x)dx, dove f(x) e' l'altezza e dx e' una base infinitesima. Se faccio una sostituzione x=x(t), allora, e' dx=x'(t)dt: basta fare il disegnino con il triangolino..., quindi dovro' sommare f(x(t)) (nuova altezza) per x'(t)dt (nuova piccola base).
Attenzione: i dx servono solo a congetturare, o a fare conti fuori dalle righe: in una vera dimostrazione sono inaccettabili, ma fino a che uno sta cercando di congetturare cosa potrebbe venire una certa cosa, allora tutto e' permesso...
Ciao, Luca.
grazie Luca per la risposta tempestiva 
credo di aver capito tutto quello che hai detto; c'e' solo una cosa di cui vorrei conferma, il "dx" rappresenta un intervallo (in questo caso in x) infinitesimo?
tu hai scritto:
"[...] se chiamo x=x(t), con t nuova variabile, allora dx/dt=x'(t)"
cio' vuol dire che la scrittura "dx/dt" puo' essere intesa come il limite del rapporto incrementale x(t)?
quindi f'(y) posso scriverlo come dy/dx?
grazie ancora..
marco

credo di aver capito tutto quello che hai detto; c'e' solo una cosa di cui vorrei conferma, il "dx" rappresenta un intervallo (in questo caso in x) infinitesimo?
tu hai scritto:
"[...] se chiamo x=x(t), con t nuova variabile, allora dx/dt=x'(t)"
cio' vuol dire che la scrittura "dx/dt" puo' essere intesa come il limite del rapporto incrementale x(t)?
quindi f'(y) posso scriverlo come dy/dx?
grazie ancora..
marco
Esatto; quando Leibniz calcolava le derivate, faceva i rapporti dei differenziali; quindi e' rimasta la notazione y'(x)=dy/dx.
Ti faccio un esempio di come Leibniz calcolava le derivate.
Supponi di dover calcolare la derivata di x^2, ovvero di calcolare dy/dx.
Allora, dy=(x+dx)^2-x^2, per cui
dy/dx=(x^2+(dx)^2+2xdx-x^2)/dx=dx+2x
Se dx e' circa 0, allora dy/dx=2x!!
Newton e Leibniz le calcolavano cosi' le derivate (Newton le chiamava flussioni in realta'), ed entrambi usavano con disinvoltura le scritture dx, dy, ecc... che rappresentano incrementi infinitesimi delle variabili (intervallini quindi); loro facevano i conti trattandoli come numeri (come ti ho mostrato) Arrivati alla fine, dopo aver semplificato tutto, li facevano diventare zero, sostanzialmente... e trovavano l'espressione della derivata.
Ecco perche' il calcolo si chiama "calcolo differenziale".
E' evidente pero' (ma alla luce di quello che sappiamo oggi noi!) che c'e' nascosto il passaggio al limite, con il quale tutto diventa formale; ma per questo occorre aspettare Cauchy e la sua scuola: siamo gia' nel 1800 avanzato...
Ciao, Luca.
Ti faccio un esempio di come Leibniz calcolava le derivate.
Supponi di dover calcolare la derivata di x^2, ovvero di calcolare dy/dx.
Allora, dy=(x+dx)^2-x^2, per cui
dy/dx=(x^2+(dx)^2+2xdx-x^2)/dx=dx+2x
Se dx e' circa 0, allora dy/dx=2x!!
Newton e Leibniz le calcolavano cosi' le derivate (Newton le chiamava flussioni in realta'), ed entrambi usavano con disinvoltura le scritture dx, dy, ecc... che rappresentano incrementi infinitesimi delle variabili (intervallini quindi); loro facevano i conti trattandoli come numeri (come ti ho mostrato) Arrivati alla fine, dopo aver semplificato tutto, li facevano diventare zero, sostanzialmente... e trovavano l'espressione della derivata.
Ecco perche' il calcolo si chiama "calcolo differenziale".
E' evidente pero' (ma alla luce di quello che sappiamo oggi noi!) che c'e' nascosto il passaggio al limite, con il quale tutto diventa formale; ma per questo occorre aspettare Cauchy e la sua scuola: siamo gia' nel 1800 avanzato...
Ciao, Luca.
hehehe ci e' saltata fuori anche la lezioncina di storia 
tnx
marco
p.s. parlando di questi geni del passato mi e' venuta in mente una frase di un tal "Max Gluckman" (che non so proprio chi cavolo sia
che fa:
"Scienza e' qualunque disciplina in cui uno stupido della nuova generazione sa di piu' del genio della generazione precedente".
beh non ha tutti torti, no? (al di la' dello stupido..
)
Modificato da - ocram il 04/06/2004 22:11:03

tnx
marco
p.s. parlando di questi geni del passato mi e' venuta in mente una frase di un tal "Max Gluckman" (che non so proprio chi cavolo sia

che fa:
"Scienza e' qualunque disciplina in cui uno stupido della nuova generazione sa di piu' del genio della generazione precedente".
beh non ha tutti torti, no? (al di la' dello stupido..

Modificato da - ocram il 04/06/2004 22:11:03