Differenziale omogeneo di 3 grado

[Nicos87]

ho questa equazione

$y''' - y =0 $

il libro dà come soluzione

$ y = c_1*e^t + e^(- t /2) * (c_2*cos ( sqrt3 * t/2) + c_3*sin(sqrt3 *t/2)) $

ma non capisco, perchè le radici non sono 1 con molteplicità 3 ? ma il libro dice che sono $ 1$ e $ - 1/2 +- sqrt3/2 * i $ ?

grazie !

[salvozungri]

L'equazione caratteristica associata è
[tex]\lambda^3-1=0\implies (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda +1)=0[/tex]

Dunque ottieni una radice reale [tex]\lambda_1 = 1[/tex] e due radici complesse e coniugate, date dalla risoluzione della quadratica [tex]\lambda^2+\lambda+1 = 0[/tex]. Nota che l'equazione va risolta in [tex]\mathbb{C}[/tex] e non in [tex]\mathbb{R}[/tex]

[Nicos87]

aaaaaaaaaaaaaaaaa (scusate l'eccessiva reazione..) reminiscenze del lontano primo superiore mi vengono alla mente

hai usato quella formula dei $a^3 -b^3 $

non ci avrei mai pensato, era totalmente nel mio dimenticatoio..

ma, posso fare una domanda stupida che tradisce la mia ignoranza: perchè non posso portare l' 1 dall'altro lato e fare la radice cubica?

grazie mille ( egrazie anche per aver aggiustato la mia formula nel post sopra)

[salvozungri]

"Nicos87":aaaaaaaaaaaaaaaaa (scusate l'eccessiva reazione..) reminiscenze del lontano primo superiore mi vengono alla mente

hai usato quella formula dei $a^3 -b^3 $

non ci avrei mai pensato, era totalmente nel mio dimenticatoio..

ma, posso fare una domanda stupida che tradisce la mia ignoranza: perchè non posso portare l' 1 dall'altro lato e fare la radice cubica?

grazie mille ( egrazie anche per aver aggiustato la mia formula nel post sopra)

Se fai in quel modo perdi le radici complesse, a meno che tu non abbia studiato le radici n-sime dell'unità in analisi complessa, in questo caso troveresti tutt'e tre le soluzioni

[Nicos87]

la mia conoscenza di matematica si ferma ai ricordi della scuola superiore (purtroppo).. n-sime proprio non mi dice nulla..
mi atterrò ai metodi "classici"

grazie mille! non l'avrei mai capito senza il tuo aiuto!