Differenziale, iperpiano tangente, dx
Salve!
Come da titolo ho alcuni problemi a capire questi concetti:
1) la prof ci ha spiegato/ dimostrato il valore di dx partendo dalla funzione $f=pi_i$ così definita $pi_i : x=(x_1,....,x_n) in R^n -> x_i in R$
poi $(\partial pi_i) / (\partial pi_j)(x)$ è 1 se i=j, o se sono diversi
applica il concetto di differenziale è dice che $dpi_i = H_i=H_j$
da qua deduce che df=dx
Non ho capito i passaggi e il perchè abbia scelto proprio questa funzione e non un'altra f $f=pi_i$
2) ma il differenziale ha delle applicazioni "pratiche" ?
essendo il prodotto scalare che compare nella nozione di differenziabilità non ha la stesse implicazioni di quest'ultima?
3) non riesco a "vedere" come è l'iperpiano tangente in uno spazio R^2 ... se penso ad R è la retta tangente che al tendere di x->x_0 tende a zero... non potreste farmi un disegno?
Intanto grazie, mi fanno piacere risposte, ma se mi date qualche link (sintetico) che può aiutarmi a capire va bene lo stesso!
(PS: Dato che ormai ci sono ne approfitto per chiedervi un consiglio: che eserciziario di analisi 2 prendere? ho già quello consigliato dalla prof, ma ne volevo anche un altro per prepararmi all'esame... consigli? )
Come da titolo ho alcuni problemi a capire questi concetti:
1) la prof ci ha spiegato/ dimostrato il valore di dx partendo dalla funzione $f=pi_i$ così definita $pi_i : x=(x_1,....,x_n) in R^n -> x_i in R$
poi $(\partial pi_i) / (\partial pi_j)(x)$ è 1 se i=j, o se sono diversi
applica il concetto di differenziale è dice che $dpi_i = H_i=H_j$
da qua deduce che df=dx
Non ho capito i passaggi e il perchè abbia scelto proprio questa funzione e non un'altra f $f=pi_i$
2) ma il differenziale ha delle applicazioni "pratiche" ?
essendo il prodotto scalare che compare nella nozione di differenziabilità non ha la stesse implicazioni di quest'ultima?
3) non riesco a "vedere" come è l'iperpiano tangente in uno spazio R^2 ... se penso ad R è la retta tangente che al tendere di x->x_0 tende a zero... non potreste farmi un disegno?
Intanto grazie, mi fanno piacere risposte, ma se mi date qualche link (sintetico) che può aiutarmi a capire va bene lo stesso!
(PS: Dato che ormai ci sono ne approfitto per chiedervi un consiglio: che eserciziario di analisi 2 prendere? ho già quello consigliato dalla prof, ma ne volevo anche un altro per prepararmi all'esame... consigli? )
Risposte
Ciao 
1) la funzione $\pi_i$ è la proiezione del punto $x$ sull'asse $i-$esimo (in altre parole è una funzione che ti restituisce la coordinata $i$-esima del punto). Esempio
\[\pi_y(5,8,4)=8\]
facile. Detto questo è abbastanza ovvio che
\[\dfrac{\partial \pi_i}{\partial x_i}=1\qquad \forall i=1,\dots,n\]
Per il resto, sinceramente non so cosa sono quegli oggetti (se lo specifichi è meglio).
2) Caspita se ce l'ha un'applicazione pratica il differenziale! E' la piu semplice e comune applicazione del calcolo differenziale! Nel caso delle funzioni da $RR$ a $RR$ ad esempio, tramite il differenziale si linearizza una funzione, ovvero se ne esegue un'approssimazione lineare. Ci sarebbe un sacco da dire e tra l'altro c'è gente molto piu preparata di me che ti potrebbe dare maggiori informazioni Ti solo faccio un piccolo esempio.
Supponiamo di voler calcolare $\sqrt{80}$ senza la calcolatrice
. Sappiamo che $\sqrt{81}=9$, per cui, in base a questa informazione, possiamo tentare di approssimare il valore che vogliamo calcolare applicando il concetto di differenziale.
Consideriamo la funzione $g(x)=\sqrt{x}$ ($g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$). Si tratta dunque di calcolare $g(80)$, no? Bene, possiamo approssimare questa quantità tramite il differenziale di $g$ (calcolato in $x_0=81$, ad esempio), dato da
\[dg=g'(81)(x-81)\]
Sostituendo il valore $80$ ad $x$ otteniamo (ometto i calcoli)
\[dg\sim -0.0555\]
Senza dilungarci troppo (ci sarebbe taaanto da dire ) questo $dg$ approssima $\Delta g=g(80)-g(81)$, che vale
\[\Delta g=-0557\]
Se approssimiamo ponendo $dg=\Delta g$ otteniamo
\[dg=-0.555=g(80)-g(81)=g(80)-9\]
da cui è facile calcolare il valore che cercavamo all'inizio, cioè $g(80)=\sqrt{80}$.
3) vedi testo di riferimento, che è meglio
Ciao!
Giuseppe
1) la funzione $\pi_i$ è la proiezione del punto $x$ sull'asse $i-$esimo (in altre parole è una funzione che ti restituisce la coordinata $i$-esima del punto). Esempio
\[\pi_y(5,8,4)=8\]
facile. Detto questo è abbastanza ovvio che
\[\dfrac{\partial \pi_i}{\partial x_i}=1\qquad \forall i=1,\dots,n\]
Per il resto, sinceramente non so cosa sono quegli oggetti (se lo specifichi è meglio).
2) Caspita se ce l'ha un'applicazione pratica il differenziale! E' la piu semplice e comune applicazione del calcolo differenziale! Nel caso delle funzioni da $RR$ a $RR$ ad esempio, tramite il differenziale si linearizza una funzione, ovvero se ne esegue un'approssimazione lineare. Ci sarebbe un sacco da dire
e tra l'altro c'è gente molto piu preparata di me che ti potrebbe dare maggiori informazioni Ti solo faccio un piccolo esempio.Supponiamo di voler calcolare $\sqrt{80}$ senza la calcolatrice
. Sappiamo che $\sqrt{81}=9$, per cui, in base a questa informazione, possiamo tentare di approssimare il valore che vogliamo calcolare applicando il concetto di differenziale.Consideriamo la funzione $g(x)=\sqrt{x}$ ($g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$). Si tratta dunque di calcolare $g(80)$, no? Bene, possiamo approssimare questa quantità tramite il differenziale di $g$ (calcolato in $x_0=81$, ad esempio), dato da
\[dg=g'(81)(x-81)\]
Sostituendo il valore $80$ ad $x$ otteniamo (ometto i calcoli)
\[dg\sim -0.0555\]
Senza dilungarci troppo (ci sarebbe taaanto da dire
) questo $dg$ approssima $\Delta g=g(80)-g(81)$, che vale \[\Delta g=-0557\]
Se approssimiamo ponendo $dg=\Delta g$ otteniamo
\[dg=-0.555=g(80)-g(81)=g(80)-9\]
da cui è facile calcolare il valore che cercavamo all'inizio, cioè $g(80)=\sqrt{80}$.
3) vedi testo di riferimento, che è meglio
Ciao!
Giuseppe
@ing.cane
Qualcosa che potrebe esserti utile sul punto 1 la trovi qui:
http://www.fioravante.patrone.name/
sotto il titolo "Chi è dx?"
Oppure direttamente:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... gativo.pdf
Qualcosa che potrebe esserti utile sul punto 1 la trovi qui:
http://www.fioravante.patrone.name/
sotto il titolo "Chi è dx?"
Oppure direttamente:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... gativo.pdf
"Fioravante Patrone":
@ing.cane
Qualcosa che potrebe esserti utile sul punto 1 la trovi qui:
http://www.fioravante.patrone.name/
sotto il titolo "Chi è dx?"
Davvero chiaro e molto molto utile professore! Grazie mille!
Grazie ad entrambi!
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