Differenziale e identità
Salve, ho bisogno di sapere se questi ragionamenti sono corretti. Supponiamo di avere l'equazione $y=x^2$.
$x^2$ lo posso vedere come funzione di $x$, e avrò che $dx^2-=2x dx$.
$y$ lo posso vedere come funzione di $x$, ed in tal caso avrò che $dy-=d/dx (y) dx$. Ciò per la definizione di differenziale. Per la definizione di derivata, avrò che $d/dx y -=2x$, e quindi anche $dy-=2xdx$. Quindi ho dimostrato che $dx^2-=dy$. Se ora anziché $-=$ prendo $=$ e scrivo $dy=2xdx$, questa in generale è un'equazione. Quando scrivo che $dy=2xdx$, poichè $dy-=2xdx$, è come se stessi scrivendo $2xdx=2xdx$, e chiaramente questa è più in particolare un'identità, che è risolta da ogni $x in RR$. Dico bene? Grazie.
$x^2$ lo posso vedere come funzione di $x$, e avrò che $dx^2-=2x dx$.
$y$ lo posso vedere come funzione di $x$, ed in tal caso avrò che $dy-=d/dx (y) dx$. Ciò per la definizione di differenziale. Per la definizione di derivata, avrò che $d/dx y -=2x$, e quindi anche $dy-=2xdx$. Quindi ho dimostrato che $dx^2-=dy$. Se ora anziché $-=$ prendo $=$ e scrivo $dy=2xdx$, questa in generale è un'equazione. Quando scrivo che $dy=2xdx$, poichè $dy-=2xdx$, è come se stessi scrivendo $2xdx=2xdx$, e chiaramente questa è più in particolare un'identità, che è risolta da ogni $x in RR$. Dico bene? Grazie.
Risposte
In termini di forme differenziali direi che più o meno è vero. Insomma è vero ma le considerazioni che fai sono un po' discutibili.
\(dy = 2x\,dx\) (senza la moltiplicazione tra le due e se ne vuoi metter una dovresti metterci \(\otimes\) ma queste sono sottigliezze) semplicemente perché hai applicato \(d\) alla 0-forma \(y\) e il risultato è \(2x\,dx\).
\(dy = 2x\,dx\) (senza la moltiplicazione tra le due e se ne vuoi metter una dovresti metterci \(\otimes\) ma queste sono sottigliezze) semplicemente perché hai applicato \(d\) alla 0-forma \(y\) e il risultato è \(2x\,dx\).
ciao vict, perchè sono discutibili? Ho solo applicato la definizione di differenziale e di derivata. Perchè parli di forme diff.? Grazie
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