Differenziale di una funzione vettoriale
Mi chiedevo se avesse senso, dato un campo vettoriale $F: D sube R^3 -> R^3$ di classe $ C^1(D) $ ed una curva $gamma$ regolare $gamma:[a,b] -> R^3 $ (sui punti della quale il campo vettoriale è definito), considerare il vettore le cui componenti sono, fissato un punto $P_0$ di $R^3$ parametrizzato in gamma per il valore $s_0$ del parametro, i differenziali di punto iniziale $P_0$ delle componenti del campo:
$ dF_(s_0) = ((delF_x)/(dels)(gamma(s_0))ds;(delF_y)/(dels)(s_0)ds;(delF_z)/(dels)(s_0)ds)$
In particolare ho trovato che su alcuni testi di fisica si utilizzano oggetti del tipo $dl = (dx;dy;dz)$ per scrivere in una maniera
"intrinseca" certe forme differenziali, (ad es.la forma differenziale lavoro : $ dL = F * dl $ che poi in coordinate cartesiane ortogonali su $R^3$"traduco" come $F_xdx+F_ydy+F_zdz$)
é possibile(ed ha un senso) utilizzare questi "vettori di covettori"?
$ dF_(s_0) = ((delF_x)/(dels)(gamma(s_0))ds;(delF_y)/(dels)(s_0)ds;(delF_z)/(dels)(s_0)ds)$
In particolare ho trovato che su alcuni testi di fisica si utilizzano oggetti del tipo $dl = (dx;dy;dz)$ per scrivere in una maniera
"intrinseca" certe forme differenziali, (ad es.la forma differenziale lavoro : $ dL = F * dl $ che poi in coordinate cartesiane ortogonali su $R^3$"traduco" come $F_xdx+F_ydy+F_zdz$)
é possibile(ed ha un senso) utilizzare questi "vettori di covettori"?
Risposte
$F_xdx+F_ydy+F_zdz$ è un invariante, e non un "vettore di covettori". Un "vettore di covettori" si dice più propriamente tensore del secondo ordine. Una forma differenziale come quella che hai scritto è un tensore di ordine zero (cioè un invariante, vale a dire "uno scalare" che non dipende dal sistema di coordinate).
La prima domanda non l'ho capita.
salute
La prima domanda non l'ho capita.
salute
Intendo dire se esiste un oggetto tipo $dl = (dx,dy,dz)$ e si possa utilizzare come fosse un vettore per scrivere le forme differenziali per mezzo di un prodotto scalare.
In tal caso la scrittura $F*dl$ restituisce effettivamente la forma differenziale, invariante, quando svolgo il prodotto scalare nel sistema di coordinate assegnato?
Mi pongo il problema perchè le forme differenziali le ho sempre trovate già scritte nel sistema di coordinate stabilito (e portavo l'esempio $F_xdx+F_ydy+F_zdz$ in coordinate cartesiane), mai in maniera intrinseca.
Comunque ti ringrazio per la risposta
In tal caso la scrittura $F*dl$ restituisce effettivamente la forma differenziale, invariante, quando svolgo il prodotto scalare nel sistema di coordinate assegnato?
Mi pongo il problema perchè le forme differenziali le ho sempre trovate già scritte nel sistema di coordinate stabilito (e portavo l'esempio $F_xdx+F_ydy+F_zdz$ in coordinate cartesiane), mai in maniera intrinseca.
Comunque ti ringrazio per la risposta
Forse ci sono!
Se $g_(ij)$ sono i coefficienti del tensore metrico nel sistema di coordinate assegnato, allora $F*dl$ sta per
$g_(ij)F^idx_j$ (somme su i e j) che è effettivamente la scrittura della forma differenziale nel sistema di coordinate in cui voglio esprimerla. In quella scrittura $dl$ non è un vero vettore (che ha per componenti numeri reali) ma un simbolo che mi individua la n.pla ordinata $(dx_1;....;dx_n)$ dei covettori di base nelle coordinate assegnate.
Qualcuno mi conferma se è giusto?
Se $g_(ij)$ sono i coefficienti del tensore metrico nel sistema di coordinate assegnato, allora $F*dl$ sta per
$g_(ij)F^idx_j$ (somme su i e j) che è effettivamente la scrittura della forma differenziale nel sistema di coordinate in cui voglio esprimerla. In quella scrittura $dl$ non è un vero vettore (che ha per componenti numeri reali) ma un simbolo che mi individua la n.pla ordinata $(dx_1;....;dx_n)$ dei covettori di base nelle coordinate assegnate.
Qualcuno mi conferma se è giusto?
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