Differenziale di ordine 3
ciao a tutti! si tratta dello sviluppo di mclaurin di funzioni da $ RR ^ 2 $ a $ RR $ . la formula è la stessa dello sviluppo di taylor con resto di peano.Mi sono bloccata al momento di trovare il differenziale di ordine 3.
per esempio nel mio caso (molto semplice) ho $ f (x.y) = sin(x) * sin(y) $ come faccio a trovare il differenziale di ordine 3 vedendo già che la mia funzione è differenziabile tre volte visto che è prodotto di due funzioni di classe $ C^(k) $???
grazie!!
per esempio nel mio caso (molto semplice) ho $ f (x.y) = sin(x) * sin(y) $ come faccio a trovare il differenziale di ordine 3 vedendo già che la mia funzione è differenziabile tre volte visto che è prodotto di due funzioni di classe $ C^(k) $???
grazie!!
Risposte
forse ci sono....pensandoci.
se il differenziale di ordine 2 si costruisce a partire da un hessiano (matrice 2x2) del tipo a11= $ (del ^ 2 f ) / (del x ^ 2 ) $ ,
a12= $ (del ^ 2 f ) / ( del x * del y ) $ , a21=a12 , a22= $ (del ^ 2 f ) / ( del y^2 ) $ moltiplicato peril vettore (x.y)
non potrebbe essere che per il differenziale di ordine 3 rifaccio sempre un hessiano con la struttura di sopra ma con
a11= $ (del ^ 3 f ) / ( del x^3 ) $ a12= $ (del ^ 3 f ) / ( del x^2 * del y ) $
a21= $ (del ^ 3 f ) / ( del x * del y ^2 ) $ a22= $ (del ^ 3 f ) / ( del y ^3 ) $ ????'
se il differenziale di ordine 2 si costruisce a partire da un hessiano (matrice 2x2) del tipo a11= $ (del ^ 2 f ) / (del x ^ 2 ) $ ,
a12= $ (del ^ 2 f ) / ( del x * del y ) $ , a21=a12 , a22= $ (del ^ 2 f ) / ( del y^2 ) $ moltiplicato peril vettore (x.y)
non potrebbe essere che per il differenziale di ordine 3 rifaccio sempre un hessiano con la struttura di sopra ma con
a11= $ (del ^ 3 f ) / ( del x^3 ) $ a12= $ (del ^ 3 f ) / ( del x^2 * del y ) $
a21= $ (del ^ 3 f ) / ( del x * del y ^2 ) $ a22= $ (del ^ 3 f ) / ( del y ^3 ) $ ????'
La tua intuizione va nella giusta direzione!
Il discorso che faccio è necessariamente poco formale (altrimenti si incasinerebbe troppo la notazione), epperò si può formalizzare a dovere con un po' di buona volontà.
Avrai notato che il termine d'ordine [tex]$1$[/tex] della formula di Taylor di centro [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] relativo agli incrementi [tex]$h=x-x_0,\ k=y-y_0$[/tex] delle variabili [tex]$x,y$[/tex] è:
[tex]$\frac{\partial f}{\partial x} \ h +\frac{\partial f}{\partial y} \ k$[/tex]
e, parimenti, che il termine d'ordine 2 della formula di Taylor è dato da:
[tex]$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \ h^2 +2\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} hk + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \ k^2$[/tex]
(le derivate si intendono calcolate in [tex]$(x_0,y_0)$[/tex]).
Noterai che ci sono delle vaghe somiglianze tra gli sviluppi delle potenze:
[tex]$(h+k)^1=h+k$[/tex]
[tex]$(h+k)^2=h^2+2hk+k^2$[/tex]
ed i precedenti termini della formula di Taylor: guarda i coefficienti dei monomi ed i gradi di [tex]$h$[/tex] e [tex]$k$[/tex].
Ebbene queste somiglianze non sono casuali ed, anzi, sono proprio esse che permettono di definire il termine [tex]$n$[/tex]-esimo della formula di Taylor mediante una notazione che si chiama potenza [tex]$n$[/tex]-esima simbolica: in particolare si pone:
[tex]$\left[ \frac{\partial f}{\partial x} \ h +\frac{\partial f}{\partial y} \ k\right]^{(n)} =\sum_{m=0}^n \binom{n}{m} \frac{\partial^n f}{\partial x^{n-m} \partial y^m} h^{n-m} k^m$[/tex]
in cui il simbolo [tex]$[\cdot ]^{(n)}$[/tex] è diverso da quello dell'usuale potenza proprio per rimarcare il fatto che non si sta "veramente" calcolando la potenza [tex]$n$[/tex]-esima dell'argomento.
La differenza sta nel fatto che le derivate prime presenti nel binomio [tex]$\frac{\partial f}{\partial x} \ h +\frac{\partial f}{\partial y} \ k$[/tex] non vengono affatto elevate a potenza, ma aumentano d'ordine e cambiano gli ordini rispetto alle variabili seguendo gli esponenti dei relativi incrementi.
Nel tuo caso il termine d'ordine $3$ della formula di Taylor sarà:
[tex]$\left[ \frac{\partial f}{\partial x} \ h +\frac{\partial f}{\partial y} \ k\right]^{(3)} =\sum_{m=0}^3 \binom{3}{m} \frac{\partial^3 f}{\partial x^{3-m} \partial y^m} h^{3-m} k^m = \frac{\partial^3 f}{\partial x^3} \ h^3 +3\ \frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y} \ h^2 k +3\ \frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2} \ h k^2 +\frac{\partial^3 f}{\partial y^3} \ k^3$[/tex].
Il discorso che faccio è necessariamente poco formale (altrimenti si incasinerebbe troppo la notazione), epperò si può formalizzare a dovere con un po' di buona volontà.
Avrai notato che il termine d'ordine [tex]$1$[/tex] della formula di Taylor di centro [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] relativo agli incrementi [tex]$h=x-x_0,\ k=y-y_0$[/tex] delle variabili [tex]$x,y$[/tex] è:
[tex]$\frac{\partial f}{\partial x} \ h +\frac{\partial f}{\partial y} \ k$[/tex]
e, parimenti, che il termine d'ordine 2 della formula di Taylor è dato da:
[tex]$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \ h^2 +2\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} hk + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \ k^2$[/tex]
(le derivate si intendono calcolate in [tex]$(x_0,y_0)$[/tex]).
Noterai che ci sono delle vaghe somiglianze tra gli sviluppi delle potenze:
[tex]$(h+k)^1=h+k$[/tex]
[tex]$(h+k)^2=h^2+2hk+k^2$[/tex]
ed i precedenti termini della formula di Taylor: guarda i coefficienti dei monomi ed i gradi di [tex]$h$[/tex] e [tex]$k$[/tex].
Ebbene queste somiglianze non sono casuali ed, anzi, sono proprio esse che permettono di definire il termine [tex]$n$[/tex]-esimo della formula di Taylor mediante una notazione che si chiama potenza [tex]$n$[/tex]-esima simbolica: in particolare si pone:
[tex]$\left[ \frac{\partial f}{\partial x} \ h +\frac{\partial f}{\partial y} \ k\right]^{(n)} =\sum_{m=0}^n \binom{n}{m} \frac{\partial^n f}{\partial x^{n-m} \partial y^m} h^{n-m} k^m$[/tex]
in cui il simbolo [tex]$[\cdot ]^{(n)}$[/tex] è diverso da quello dell'usuale potenza proprio per rimarcare il fatto che non si sta "veramente" calcolando la potenza [tex]$n$[/tex]-esima dell'argomento.
La differenza sta nel fatto che le derivate prime presenti nel binomio [tex]$\frac{\partial f}{\partial x} \ h +\frac{\partial f}{\partial y} \ k$[/tex] non vengono affatto elevate a potenza, ma aumentano d'ordine e cambiano gli ordini rispetto alle variabili seguendo gli esponenti dei relativi incrementi.
Nel tuo caso il termine d'ordine $3$ della formula di Taylor sarà:
[tex]$\left[ \frac{\partial f}{\partial x} \ h +\frac{\partial f}{\partial y} \ k\right]^{(3)} =\sum_{m=0}^3 \binom{3}{m} \frac{\partial^3 f}{\partial x^{3-m} \partial y^m} h^{3-m} k^m = \frac{\partial^3 f}{\partial x^3} \ h^3 +3\ \frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y} \ h^2 k +3\ \frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2} \ h k^2 +\frac{\partial^3 f}{\partial y^3} \ k^3$[/tex].
Concedimi che la potenza [tex]$n$[/tex]-esima simbolica è bellissima... 
grazie mille!!!! siete stati utilissimi!!!!! 
Scusa Gugo, non avevo proprio visto il tuo post ieri sera. "Potenza $n$-esima simbolica"... 
Let's rock'n'roll!
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