Differenziale di funzione

[meck90]

Qualcuno mi può spiegare il significato geometrico del differenziale secondo di una funzione, definito come d''y=f''(x)dx^2.
Pensando al differenziale primo dy=f'(x)dx, da un punto di vista geometrico, il differenziale secondo lo definirei come f''(x)dx.

Grazie

[Luca.Lussardi]

Più che differenziale secondo, sarebbe meglio parlare di derivata seconda; così come la derivata prima è legata alla tangente, quindi alla linearizzazione di quanto varia una funzione, la derivata seconda vuole linearizzare quanto varia la tangente, quindi quanto si curva il grafico della funzione.

[p4ngm4n]

quindi il differenziale secondo non esiste???

[Luca.Lussardi]

Sì, certo che esiste, ma per evitare ogni ambiguità nell'uso formale dei $dx$ è sempre meglio parlare di derivata e non di differenziale, almeno in una variabile reale.

Insomma, abbiamo abbandonato i $dx$ di Leibniz con l'avvento della scuola di Cauchy e Weierstrass; perchè buttare 200 anni di evoluzione dell'Analisi?

[Maxos2]

Perché robinson ha dimostrato che l'analisi non standard è rigorosa.

No, comunque, a parte questo, sono d'accordo del tenerci il concetto topologico di derivata, anche perché poi, in geometria differenziale le definizioni sono meno banali ed è meglio essere allenati.

Però è anche importante sapere che la trattazione formale con le d di Leibniz sono coerenti e utili.

[Luca.Lussardi]

Il problema, caro Maxos, è che i conti formali con i $dx$ sono corretti e funzionano perchè sappiamo già come vanno le cose per altre vie, ovvero attraverso i Teoremi del calcolo differenziale.

Però queste cose le può notare e usare uno che conosce la teoria per bene; allora si può permettere di fare i conti alla Leibniz (io stesso li faccio); ma uno che inizia a studiare queste cose no.

[Maxos2]

Vero

[david_e1]

"Maxos":Però è anche importante sapere che la trattazione formale con le d di Leibniz sono coerenti e utili.

Si ad esempio in fisica mi sembra comodo "smanettare" coi "dx".

[CA10]

Sì, certo che esiste, ma per evitare ogni ambiguità nell'uso formale dei dx è sempre meglio parlare di derivata e non di differenziale, almeno in una variabile reale.

Ai miei tempi dell'analisi I i differenziali esistevano, guai a confonderli con la derivata, con tutto il rigore alla Cauchy e senza far intervenire l'analisi non standard di Robinson che tuttavia studiavo per conto mio......


Ahhh, che dolci ricordi!

[Luca.Lussardi]

Infatti il concetto di differenziale non coincide con quello di derivata; ma almeno in una variabile reale il vero protagonista è la derivata, e non il differenziale. Smanettare con i $dx$, come diceva david_e, è sì comodo e funziona, ma funziona perchè lo sappiamo a posteriori che funziona. Quindi, principianti attenzione: non smanettare con i $dx$ fino a quando la corretta teoria non vi è entrata bene in testa.

[CA10]

Smanettare con i dx, come diceva david_e, è sì comodo e funziona, ma funziona perchè lo sappiamo a posteriori che funziona.

Ma sì, funziona, se si utilizza la definizione e la teoria corretta e non quella "intuitiva" che lo definisce come variazione "infinitesima"....


Mi ricordo - non senza un certo sconcerto - i famosi "differenziali non esatti" che si incontravano in chimica e in fisica 1 (il "d tagliato" o il "d *"). Proprio mi rifiutavo di digerirli. Tutto mi fu chiaro qualche anno dopo, seguendo il corso di fisica tecnica ove la termodinamica veniva trattata secondo un rigoroso approccio matematico...