Differenziale della composta
Ciao a tutti! vi scrivo per sciogliere un mistero nella dimostrazone del teorema sul differenziale della composta. Andiamo con ordine:
Teorema: sia $f:RR^n -> RR^m$ differenziabile in $x_0 in RR^n$
e $g:RR^m -> RR^p$ differenziabile in $y_0=f(x_0)$
allora $F= g \circ f$ è differenziabile in $x_0$ e $dF(x_0)= dg(y_0) df(x_0)$
dimostrazione:
sviluppo grazie al lemma della base di Taylor
$f(x_0+h)= f(x_0) +df(x_0) (h) + o(h)$
e $g(y_0 + k)= g(y_0) + dg(y_0) (k) + rho(k)$
con o(h) tale che $lim(h->0) (o(h))/||h|| =0$
e stessa cosa per $rho(k)$
ora, pongo: $k= f(x_0+h)-f(x_0) = df(x_0)(h) + o(h)
e trovo una maggiorazione a k.
[size=150]$||k||_m=||df(x_0) (h) + o(h)||<= ||df(x_0)||||h|| + ||o(h)|| <= ||df(x_0)||||h|| + c||h|| [/size]
ecco, come faccio a dare questa maggiorazione a k in termini di h? (il passaggio che non capisco è quello in grassetto)
Dopo è tutto chiaro, sviluppo $F(x_0+h)$e vedo che ha un resto che grazie a questa maggiorazione va a zero e finito tutto..
Un grazie bello risonante a chi riesce a svelarmi questo mistero..
Teorema: sia $f:RR^n -> RR^m$ differenziabile in $x_0 in RR^n$
e $g:RR^m -> RR^p$ differenziabile in $y_0=f(x_0)$
allora $F= g \circ f$ è differenziabile in $x_0$ e $dF(x_0)= dg(y_0) df(x_0)$
dimostrazione:
sviluppo grazie al lemma della base di Taylor
$f(x_0+h)= f(x_0) +df(x_0) (h) + o(h)$
e $g(y_0 + k)= g(y_0) + dg(y_0) (k) + rho(k)$
con o(h) tale che $lim(h->0) (o(h))/||h|| =0$
e stessa cosa per $rho(k)$
ora, pongo: $k= f(x_0+h)-f(x_0) = df(x_0)(h) + o(h)
e trovo una maggiorazione a k.
[size=150]$||k||_m=||df(x_0) (h) + o(h)||<= ||df(x_0)||||h|| + ||o(h)|| <= ||df(x_0)||||h|| + c||h|| [/size]
ecco, come faccio a dare questa maggiorazione a k in termini di h? (il passaggio che non capisco è quello in grassetto)
Dopo è tutto chiaro, sviluppo $F(x_0+h)$e vedo che ha un resto che grazie a questa maggiorazione va a zero e finito tutto..
Un grazie bello risonante a chi riesce a svelarmi questo mistero..
Risposte
L'hai scritto tu:
$lim_{h->0} (o(h))/||h|| =0$ cioè:
$o(h)= ||h|| omega(h)$, ove $omega(h)->0$ per $h->0$ e perciò $omega(h)$ è limitata per $h$ vicino a 0.
Non so se si è capito...
$lim_{h->0} (o(h))/||h|| =0$ cioè:
$o(h)= ||h|| omega(h)$, ove $omega(h)->0$ per $h->0$ e perciò $omega(h)$ è limitata per $h$ vicino a 0.
Non so se si è capito...
"amel":
L'hai scritto tu:
$lim_{h->0} (o(h))/||h|| =0$ cioè:
$o(h)= ||h|| omega(h)$, ove $omega(h)->0$ per $h->0$ e perciò $omega(h)$ è limitata per $h$ vicino a 0.
Non so se si è capito...
$omega(h)$ è limitata per $h$ vicino a 0..quindi sto suppondendo di aver un h fissato sufficientemente piccolo per cui $o(h) = ||h||omega(h) <= c ||h||$ con $c=sup |omega(h)|$ ?
Occhio che $o(h)$ è un vettore di $RR^m$ "infinitesimo", perciò:
$||o(h)|| = ||h||||omega(h)|| <= c ||h||$, per $h$ vicino a 0
Per il resto non c'è bisogno di dire altro... d'altronde dire che $omega(h)$ è limitata vuol dire che esiste una costante $c$ per cui $||omega(h)||<=c$, poi chi sia $c$ non mi sembra qui interessi particolarmente ($c$ peraltro non è univocamente determinata ovviamente: se $||omega(h)||<=c$, allora anche $||omega(h)||<=c+10000$).
Torna?
$||o(h)|| = ||h||||omega(h)|| <= c ||h||$, per $h$ vicino a 0
Per il resto non c'è bisogno di dire altro... d'altronde dire che $omega(h)$ è limitata vuol dire che esiste una costante $c$ per cui $||omega(h)||<=c$, poi chi sia $c$ non mi sembra qui interessi particolarmente ($c$ peraltro non è univocamente determinata ovviamente: se $||omega(h)||<=c$, allora anche $||omega(h)||<=c+10000$).
Torna?
Ok, capito! grazie mille!!
come farei senza questo forum
Spero di progredire abbastanza da poter dare una mano anch'io nelle risposte prima o poi!
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Spero di progredire abbastanza da poter dare una mano anch'io nelle risposte prima o poi!
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