Differenziale del prodotto
Buongiorno.
Devo dimostrare questa proposizione:
Sia \( f \) una funzione continua in \( x_0 \) e \( g \) differenziabile in \( x_0 \), con \( g(x_0)=0 \). Si dimostri che \( fg \) è differenziabile in \( x_0 \).
Consideriamo le due funzioni definite in \( \mathbb{R^n} \) a valori in \( \mathbb{R} \) .
Allora, ho calcolato il "candidato" differenziale con il teorema della funzione composta e ho trovato: \( df(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot dg(x) \) . Chiaramente, in \( x_0 \) il primo addendo scompare.
Ora il problema diventa dimostrare se la funzione è effettivamente differenziabile.
Ho provato ad impostare il limite della definizione:
\( \lim \limits_{x \to x_0} {{fg(x)-fg(x_0)-dfg(x_0)(x-x_0)} \over {||x-x_0||}} = \lim \limits_{x \to x_0} {{fg(x)-f(x_0)dg(x_0)(x-x_0)} \over {||x-x_0||}} \)
semplificando, al secondo passaggio, dato che \( g(x_0)=0 \).
E qui mi blocco... Come posso dimostrare che il limite è infinitesimo?
Devo dimostrare questa proposizione:
Sia \( f \) una funzione continua in \( x_0 \) e \( g \) differenziabile in \( x_0 \), con \( g(x_0)=0 \). Si dimostri che \( fg \) è differenziabile in \( x_0 \).
Consideriamo le due funzioni definite in \( \mathbb{R^n} \) a valori in \( \mathbb{R} \) .
Allora, ho calcolato il "candidato" differenziale con il teorema della funzione composta e ho trovato: \( df(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot dg(x) \) . Chiaramente, in \( x_0 \) il primo addendo scompare.
Ora il problema diventa dimostrare se la funzione è effettivamente differenziabile.
Ho provato ad impostare il limite della definizione:
\( \lim \limits_{x \to x_0} {{fg(x)-fg(x_0)-dfg(x_0)(x-x_0)} \over {||x-x_0||}} = \lim \limits_{x \to x_0} {{fg(x)-f(x_0)dg(x_0)(x-x_0)} \over {||x-x_0||}} \)
semplificando, al secondo passaggio, dato che \( g(x_0)=0 \).
E qui mi blocco... Come posso dimostrare che il limite è infinitesimo?
Risposte
Già provato a sommare e sottrarre $f(x_0)g(x)$ al numeratore?
Mh, ok...
Seguendo il tuo suggerimento, trovo:
\( \lim \limits_{x \to x_0} ({{g(x)\cdot (f(x)-f(x_0))}\over{||x-x_0||}} + {{f(x_0)\cdot (g(x)-dg(x_0)(x-x_0))}\over{||x-x_0||}}) \)
Ma da qui, come sfuggo alla forma indeterminata \( 0 \over 0\) ?
Seguendo il tuo suggerimento, trovo:
\( \lim \limits_{x \to x_0} ({{g(x)\cdot (f(x)-f(x_0))}\over{||x-x_0||}} + {{f(x_0)\cdot (g(x)-dg(x_0)(x-x_0))}\over{||x-x_0||}}) \)
Ma da qui, come sfuggo alla forma indeterminata \( 0 \over 0\) ?
Suggerimento notazionale: ragiona solo sulla differenza \( (fg)(x_0 + h) - (fg)(x_0) \): una volta che hai
\[
(fg)(x_0 + h) - (fg)(x_0) = f(x_0 + h)g(x_0 + h) - f(x_0)g(x_0)
\] aggiungi e sottrai \( f(x_0)g(x_0 + h) \) o qualche altra roba del genere, e hai
\[
[\dots]
\] e via così.
P.S. Mi sono accorto che tu avevi scritto "\( (fg)(x) - (fg)(x_0)" \) e non "\( (fg)(x_0 + h) - (fg)(x_0) \)", ma chiaramente è uguale. Se proprio vuoi cancello e te lo riscrivo nell'altro modo.
\[
(fg)(x_0 + h) - (fg)(x_0) = f(x_0 + h)g(x_0 + h) - f(x_0)g(x_0)
\] aggiungi e sottrai \( f(x_0)g(x_0 + h) \) o qualche altra roba del genere, e hai
\[
[\dots]
\] e via così.
P.S. Mi sono accorto che tu avevi scritto "\( (fg)(x) - (fg)(x_0)" \) e non "\( (fg)(x_0 + h) - (fg)(x_0) \)", ma chiaramente è uguale. Se proprio vuoi cancello e te lo riscrivo nell'altro modo.
Gentilissimi, forse ho capito l'arcano!
Sommando e sottraendo al numeratore ottengo: $ g(x) \cdot (f(x)-f(x_0)) + f(x_0) \cdot ( g(x)-g(x_0)) $ , di cui il primo termine si annulla per continuità di $ f $ .
Sostituendo: $ g(x)-g(x_0) = dg(x_0)(x-x_0)+ o(||x-x_0||) $, alla fine al numeratore rimane solo $ o(||x-x_0||)$ e quindi tutto converge a zero per definizione di o-piccolo.
È corretto?
Sommando e sottraendo al numeratore ottengo: $ g(x) \cdot (f(x)-f(x_0)) + f(x_0) \cdot ( g(x)-g(x_0)) $ , di cui il primo termine si annulla per continuità di $ f $ .
Sostituendo: $ g(x)-g(x_0) = dg(x_0)(x-x_0)+ o(||x-x_0||) $, alla fine al numeratore rimane solo $ o(||x-x_0||)$ e quindi tutto converge a zero per definizione di o-piccolo.
È corretto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo