Differenziale da risolvere

[leonardo28871]

ciao ragazzi,
intanto volevo farvi i complimenti per l'ottimo sito... oltre che per un forum che sembra davvero interessante.
Volevo chiedere il vostro aiuto...

mi sono imbattuto in questa forma differenziale, che, con i miei colleghi, non siamo riusciti a risolvere:

$f''(x)+[f'(x)]^2=a*x+b$

o anche, ma non credo cambi molto:


$f''(x)+[f'(x)]^2=a*x$

vi sarei veramente molto grato se poteste darmi una mano a risolverla...

[gugo82]

"leonardo2887":ciao ragazzi,
intanto volevo farvi i complimenti per l'ottimo sito... oltre che per un forum che sembra davvero interessante.
Volevo chiedere il vostro aiuto...

mi sono imbattuto in questa forma differenziale, che, con i miei colleghi, non siamo riusciti a risolvere:

$f''(x)+[f'(x)]^2=a*x+b$

o anche, ma non credo cambi molto:


$f''(x)+[f'(x)]^2=a*x$

vi sarei veramente molto grato se poteste darmi una mano a risolverla...

Equazione differenziale, non "forma differenziale", del secondo ordine non lineare in $f$ e non omogenea.

Innanzitutto, visto che figurano sole le derivate prima e seconda, la si può abbassare d'ordine introducendo la variabile $y=f'$: sostituendo trovi:

(1) $quad y'+y^2=ax+b$

che è un'equazione (sempre non lineare) ma del primo ordine.
Per risolvere quest'ultima equazione la si deve trasformare in una equazione lineare in una nuova variabile. Introduciamo allora una seconda variabile ausiliaria $u$ (che supporremo diversa da zero) tale che la precedente $y$ si esprima come segue:

$y=(u')/u$;

derivando ambo i membri della precedente relazione rispetto ad $x$ otteniamo:

$y'=(u''*u-(u')^2)/u^2$;

sostituendo i valori di $y$ ed $y'$ così determinati, la (1) diventa:

$(u''*u-(u')^2)/u^2+((u')/u)^2=ax+b$

$(u''*u-(u')^2+(u')^2)/u^2=ax+b$

$u''*u=(ax+b)*u^2$

ed infine:

(2) $u''=(ax+b)*u$.

La (2) è lineare del secondo ordine in $u$ e dovresti poterla risolvere anche se non ha i coefficienti costanti.
Determinata $u$ dalla (2), per trovare la soluzione $f$ del problema originario basta calcolare $u'$, sostituire "a ritroso" ottenendo la relazione:

$f'=(u')/u$

ed integrare quest'ultima rispetto ad $x$; in tal modo trovi:

$f=\int (u')/u " d"x$

Spero d'essere stato utile.
Buono studio.



P.S.: Per curiosità, ma da dove vi esce fuori quest'equazione?

[leonardo28871]

hehe... grazie per la risuluzione... adesso mi ci metto su per capirla per bene...

è un'equazione che è uscita fuori dall'equazione di Schroedinger, per la particella che "sale la montagna"... ovvero che si muova contro un potenziale in aumento costante.
i primi passaggi erano semplici, ma poi, la funzione d'onda soluzione del problema doveva essere quella famosa $f(x)$ che non sapevamo ricavarci... ti ringrazio per la risposta, spero che le istruzioni che tu mi hai dato bastino...

a presto